1 主要结果

 

设2，考虑有界正则区域上的非齐次A-调和方程组的最优部分正则性问题．这里，满足通常的可测性条件，关于有连续偏导数，并且对，存在正常数，有

随着焊接次数的增加，螺柱卡头十字槽与焊枪之间的同轴度不断增大，导致螺柱与焊枪(支撑套筒)之间形成斜角；焊枪与工件之间主要通过三角支撑套筒保证，由于人工手动操作焊枪，支撑套筒与工件无法保证每次都是三点接触，尤其是在施焊的瞬间，一致性无法保证。

（H1）；

模型制备次日，将模型制备后存活动物根据制备顺序随机入组，分别为模型组和注射用雷贝拉唑钠1 mg/kg组，动物开始尾iv给药，给药体积5 mL/kg，模型组给予等体积的0.9%氯化钠注射液，连续7 d，每天上午给药1次。

（H2）；

（H3）；

其中

其中 K:［0,∞)→:［0,∞)单调不减， K 1．

定义1 设函数，若对，有

 

则称u为方程组(1)的很弱解．

A-调和方程（组）作为-调和方程（组）的推广，具有深刻的物理和力学背景，因此多年来一直受到广泛的关注和研究.其经典弱解和很弱解的性质更是研究的重点，其中一个重要的研究结果是Serrin[1]于1964年提高了A-调和方程组，j=1,2,…,m 弱解的可积指数，并通过对偶性讨论将经典弱解的假设条件减弱为．

为了得到A-调和方程（组）的正则性理论，一个关键的问题是检验函数的构造．由于很弱解的条件假设比经典弱解要弱，这就导致处理经典弱解时常用的检验函数构造方法在处理很弱解时失效．因此构造恰当的检验函数成为很弱解正则性理论研究中亟待解决的问题．1993年Lewis[2]利用Whitney延拓定理以及Ap权函数理论来构造检验函数，证得非线性高阶椭圆方程组的很弱解一定是弱解．1994年，Iwaniec和Sbordone[3]基于Hodge分解定理来构造检验函数，得到了A-调和方程divA(x,Du)=0的很弱解的正则性．此后，人们得到了关于A-调和方程（组）很弱解的性质，尤其是正则性的一系列研究结果．在文献[3]的基础上，Giachetti，Leonetti和Schiachi[4]应用Hodge分解的方法建立了 A-调和方程 divA(x,u,Du)=0的部分正则性结果．谢素英[5]采用同样的方法，将结果推广到至非齐次A-调和方程-divA(x,Du)=B(x,Du)．佟玉霞，谷建涛和徐秀娟[6]得到了非齐次A-调和方程-divA(x,Du)=f(x)的类似结果．周树清，胡振华和彭冬云[7]进一步地考虑了一类A-调和方程的障碍问题，并得到了很弱解的全局正则性结果．

但是在前人的关于A-调和方程（组）的正则性研究中，所涉及的A-调和算子几乎都是和函数u无关的，因此本文主要考虑A-调和算子与u有关的非齐次A-调和方程组(1)的很弱解的正则性问题，并且将非齐次项B(x,Du)所满足的条件由文献[5]的推广为，其中．

式中：i为年份，j为指标序号，aij为指标数据原始值，bij为标准化值，amax、amin分别为第j指标的最大值和最小值。

本文主要由两部分组成.第一部分，应用Hodge分解定理构造检验函数，得到如下结果．

定理1 设算子A（x,u,）,B（x,）满足条件(H1)，(H2)和(H4)，则存在指数使得方程组(1)的每一个很弱解都有．

推论1 设算子A（x,u,）,B（x,）满足条件(H1)，(H2)和(H4)，则存在指数使得方程组(1)的每一个很弱解都有．

第二部分，基于A-调和逼近方法，证明了很弱解是最优H lder连续的．

定理2 假设A（x,u,）和 B（x,）满足条件(H1)－(H4)，且设是(1)的很弱解，r1定义同推论 1．令，，则存在开集Ω0Ω使得，γ由条件(H3)定义，并且有．

2 预备知识

设Ω是一个正则区域，，为中单位球的体积．

引理1[3]设，则存在，，使得

 

由(3)，(4)可得 D的类似(4)的估计式．

引理2[8]设．若，则有

1.不会做的题。这样的题最能体现知识的掌握程度，有的涉及到公式、定理的运用，有的涉及到知识点之间关系等，整理这类错题，有助于巩固基础知识；

 

引理3[9-10]设，满足逆Hder不等式

 

下面，对(11)式各项进行估计．

根据前面试验的结果，在蔗糖添加量6%，黄精浸提液添加量0.5%的条件下，将黄精酸奶放置在不同发酵温度下，分别是40，41，42，43，44℃，研究发酵温度对黄精发酵酸奶品质的影响。

 

其中．

应用引理3，可不断提高g（x）的可积指数．

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

设，是方程组(1)的很弱解，．取，并且在上有．设0∈Nn是任意给定的常数矩阵，，则．由 Hodge 分解定理及-1＜r-＜0知，存在，于是此可作为很弱解定义中的检验函数．记ε=-r，显然-1＜-ε＜0．为后续证明的方便，不妨限制（即有），于是有

 

下面先计算h和D 的关于Dv的估计式.

由于，应用 Poincáre不等式，有

 

（H4）；

由(5)式和(6)式，可得 D 的估计式

通过举办和参加各类各层次展销会、推介会，积极引进省内外客商，把本地特色产品推出去，促进“一带一路”市场经济要素自由流动。积极参加兰洽会、张交会等农业展会，充分利用各类平台，与来自中西亚、欧洲等地区的中外企业采购商开展洽谈。通过各层次的展销会，先后引进了中农大康公司等一批农产品生产加工企业，有效带动和促进了工商资本进入农产品加工领域。与此同时，通过各类农业展会，借机展示宣传高台县特色农产品，有效提升了高台县农产品品牌知名度。

 

将D(η v)的估计式(7)代入上式，有

 

其中

令

 

利用引理2，可得

 

由(5)式和 E(η，v)的定义，有

 

把上式代入(2)式，得

 

为利用条件(H2)，可将上式左边拆分为

 

将上式代入(10)式，得

 

其中，则存在使，且有

由条件(H2)，有，

其中

 

借助上式，可得如下估计式

 

利用条件(H1)和Young不等式，有

 

利用条件(H1)，有

 

进一步地，可得

 

应用条件(H1)和 E(η，v)的估计式，有

 

令，上式可简记为

 

其中

应用Young不等式，Poincáre不等式，可得K1和K2的估计式

教材，作为教学的基础，主要是通过教材的学习，来让学生理解英语知识的运用。教材有其选材要求和编排顺序,教学需要遵循教材但不囿于教材,可以突破教材原有的框架,通过补充、添加等方式，形成以教材为核心的丰富的材料“群”，让教学因这样的添加而变得厚实有内容。

 

 

其中

由Sobolev-Poincáre不等式，进一步可得

 

把(16)，(17)式代入(15)式，有

 

由条件(H4)，H lder不等式，可得

 

由，Sobolev-Poincáre 不等式及(9)式，有

在小学信息化教学建设过程中，教师不仅要具备较强的专业素养，还应当具备一定的教学信息化技术操作能力。因此，学校应当注重培训教师运用信息化技术辅助信息化教学的操作能力，同时做好信息化宣传、教育和培训工作，同时，小学教师也应当主动学习信息化技术教育手段和先进的教学方法，敢于创新，在教学过程中最大化地利用现代化信息技术。此外，学校还应当建立专门的考核和评价机制，来鼓励学生提升网络学习、信息资源运用以及课件制作能力，也可以通过课程展评和竞赛比赛等方式来提升其信息化应用能力。

 

进一步应用Young不等式，有

 

其中

阿里呵呵呵地尾随着阿东。路上有熟人见到阿里，都热情地跟他打招呼。阿里，今天怎么这么开心呀!阿里，笑得蛮好咧。阿里，你比阿东帅多了!

接下来，估计 J1和 J2．

由于，则有成立，又，于是

 

将上式代入I4，利用Young不等式，可得

 

其中

 

将 J1和 J2的估计式(20)，(21)代入(19)式，得 I4的估计

 

其中

将(12)，(13)，(14)，(18)和(22)式代入(11)式，有

 

 

经整理，得

 

当浸取时间为30 min时还有部分BaS未溶出，而当浸取时间为60 min时BaS已经基本全部溶出，[OH-]和[Ba2+]均达到峰值，此时的浸取率亦是最高的，继续增加浸取时间残留的BaS不会再有明显减少，而BaSiO3和BaCO3生成量均会随着时间的增加而明显增加，消耗了更多的Ba(OH)2，因此当浸取时间大于60 min时[OH-]和[Ba2+]均减小。故浸取时间选择60 min，此时浸取率最高，水不溶性钡生成率较低。

我按门铃之后，开门的是一个看起来相当年轻的女人，估计就是孩子继母了。和她笑着寒暄之后，她说孩子在房里等我，不敢喊他出来。

两边除以 αnRn，得

 

由于，应用 Young 不等式，Poincáre 不等式及(9)式，得

取 ε，ε1，ε2，ε3，ε4，ε5和 ε6足够小，使得 1＜＜-ε，θ＜2-n，由引理 3 可得（Ω）其中 r′＞r.重复以上过程，可得定理1的结论.

3.2 定理2的证明

定理2的证明可分为两部分，即先证明(1)的很弱解是弱解，然后再证明很弱解是H lder连续的.若A（x,u,）和 B（x,）满足条件(H1)-(H4)，且，r1r＜是(1)的很弱解，则由推论1可知，u一定是(1)的弱解.在此证明结果的基础上，应用A-调和逼近方法，按照标准化的证明方法，可进一步证得弱解，具体证明过程可参考文献[11]中的定理1.1.

致谢：本论文得到数字福建气象大数据研究所和数据科学与统计重点实验室的资助.

参考文献:

供水管网老化是城市供水效率低下的主要原因。2009年，投资1.75亿元完成了晋城市区老城区自来水供水管网改造，使25万城市居民受惠，管网漏失率大幅度下降。自实行水务一体化体制改革以来，陵川县供水公司积极进行县城水网改造、水表出户、一户一表、节水型管材使用、节水型器具推广等工作，管网水漏失率由原先的40%降低到不足12%，供水总人口扩大了2倍，供水控制总面积扩大了1.5倍，大大减少了供水过程的跑、冒、滴、漏。在市及各县经济适用房小区推广安装节水型器具，开展了节水型社区创建活动。开展了节水进校园行动，在晋城市职业技术学院学生公寓安装了盥洗用水中水回用系统。

[1]SerrinJ.Pathological solutions of elliptic equations[J].Ann Scuola NormSup Pisa,1964,18:385-387.

[2]LewisJL.On the very weak solutions of certain elliptic systems[J].Comm Partial Differential Equations,1993,18:1515-1537.

[3]IwaniecT,SbordoneC.Weak minima of variational integrals[J].J Reine Angew Math,1994,454:143-161.

[4]GiachettiD,LeonettiF,SchiachiR.On the regularity of very weak minimal[J].Proc Roy Soc Edinburg,1996,126(A):287-296.

[5]谢素英.非齐次A-调和型方程很弱解的正则性[J].上海交通大学学报,2001,35(7):1105-1108.

标准Noble和SUSAN算法的对比结果如图3所示,图3表明Noble算法检测到的角点比SUSAN算法更多。在对郊区图像进行分析时,这两种方法都能够检测到更少的GT角点,并出现更多的误报,在任何情况下的误报率都很高。例如,在工厂中,Noble算法发出的错误警报数量较低,为54(0.000 5%),同样只检测到13个GT角点。

[6]佟玉霞,谷建涛,徐秀娟.一类非齐次A-调和方程很弱解的正则性[J].高校应用数学学报,2009,24(3):319-323.

[7]周树清,胡振华,彭冬云.一类A-调和方程的障碍问题的很弱解的全局正则性[J].数学物理学报,2014,34A(1):27-38.

[8]IwaniecT,MigliaccioL,NaniaL,et al.Integrability and removabilityresults for quasiregular mappings in high dimensions[J].MathScand,1994,75(2):263-279.

[9]MeyersN,ElcratA.Some results on regularity for solutions of non-linear elliptic systems and quasi-regular functions[J].Duke Math J,1975,42(1):121-136.

[10]GiaquintaM.Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems[M].Princeton:Princeton University Press,1983.

[11]Chen S H,Tan Z.Optimal interior partial regularity for nonlinear elliptic systems under the natural growth condition:the method of A-harmonic approximation[J].ActaMathematicaScientia,2007,27B(3):491-508.