0　引言

本文中, 我们记n为n维欧式空间, =1=(-,+), n:xi>0,i=1,2,…,n}. 对x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn)∈2和α∈, 记

其中a={a1,a2,…,aN}为所有用户当前策略选择，wm为信道带宽，|Ii|表示集合Ii中元素的个数.

 

此外, 对x=(x1,x2,…,xn)∈ 记

 

对于p∈, 两个不同正数x和y的Lehmer平均Lp(x,y)定义如下

 

特别地, 许多常见的平均都是Lehmer平均的特殊情况, 譬如:

调和平均　几何平均

可是等订下婚约，父亲要他重返蓬莱成婚，他又知悔了，跑了。他何尝不曾“少年心性，心思机巧”，觉得天下的事、天下的人、天下的情，都当不得他一拳一剑，不在话下。诚心正意何其难，少年老成何其无趣，我又何必苛责这几个孩子。

算数平均　反调和平均

因此, 许多学者对Lehmer平均产生了极大的兴趣, 并对其性质及相关不等式进行了广泛的研究[1-5].

两组肝胆胰疾病合并糖尿病患者的餐前血糖，餐后2 h血糖以及糖化血红蛋白指标情况以及患者术后并发症的发生率。

Schur凸函数最初是由Schur[6]于1923年引入, 它在分析不等式、线性回归等其他相关领域均有重要的作用[7-10]. 近年来, 一些常见平均数和对称函数的Schur凸性、Schur乘性凸性以及Schur调和凸性被许多学者所研究[11-14]. 为方便读者理解, 我们首先回顾一些定义.

定义1　设f是定义在 Ω⊆n上的实函数, 若对于Ω中任意两个x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)满足控制关系xy就恒有

教师要从视频、声音与图片等方面出发，确保教学的生动性，在激发学生学习注意力与兴趣的同时来发掘学生的潜能。如学生在学习细胞分裂这一知识时，教师就可以从信息技术入手，将重点知识展示给学生，然后要求学生进行复述。当学生能够复述出内容后，教师还要借助多媒体将细胞的分裂与分化过程展现出来，以此帮助学生解决问题。这种教学方法不仅可以吸引学生的目光，同时也可以保持学生的学习专注度，从而加深了学习的印象。此外，在教学中教师还要找出一些相关的视频来给学生进一步讲解知识，便于学生进行课下学习[1]。

f(x1,x2,…,xn)≤f(y1,y2,…,yn),

则称f是Ω上的Schur凸函数, 其中控制关系xy是指

圆明园是一座举世闻名的皇家园林，殿堂金碧辉煌，亭台楼阁玲珑剔透。园内有民族建筑，有西洋景观；有山乡村野的田园风光，有驰名中外的风景名胜；珍藏着历代的名人书画，各种罕见的奇珍异宝，就是这样的伟大建筑，是怎样被外国侵略者毁灭的呢下面，我们就来学习第三段课文。

 

定理5　设x=(x1,x2,…,xn)∈和p∈.

 

对于项目成本的控制，具体实施过程中不能只局限于纸上谈兵，或是以牺牲施工质量和安全为手段来达到降低项目成本的目的。在施工过程中，现场人员要进行现场蹲守，多观察，勤思考，多沟通，随时进行调整，达到创新的目的。应该根据合同要求的工程项目、质量、进度等指标，详细地编制好施工组织设计，作为制定计划成本的基础。对合同中的暂定项目和存在变更的分项工程，要进行严格审核，及时申报，避免返工、窝工以及浪费。

定义2　设f是定义在 Ω⊆上的实函数, 若对Ω中任意满足控制关系logx 的x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn) 就恒有

f(x1,x2,…,xn)≤f(y1,y2,…,yn),

则称f是Ω上的Schur乘性(调和)凸函数. 若-f是Ω上的Schur乘性(调和)凸函数, 则f 称是Ω上的Schur 乘性(调和)凹函数.

2009年, Gu[15]研究了Lp(x,y)的Schur凸性和Schur乘性凸性. 随后, Xia[16]探索了Lp(x,y) 的Schur调和凸性.

对于x=(x1,x2,…,xn)∈和p,q∈, 多变量Lehmer平均Lp(x)和Hölder平均Hq(x)分别定义如下

 

和

 

在文[16]中, Gu得到了关于Lp(x)的Schur凹凸性的结论:

定理1[15]　设x=(x1,x2,…,xn)∈和p∈,

x[i]表示x中第i个最大分量. 若-f是Ω上的Schur凸函数, 则f称是Ω上的Schur凹函数.

1)当0≤p≤1时, Lp(x)是上的Schur凹函数;

2)当1≤p≤2时, Lp(x)是上的Schur凸函数.

2016年, Fu在文[18]中对Gu关于Lp(x)Schur凹凸性的定理进行了推广, 并进一步研究了Lp(x)的Schur乘性凸性和Schur调和凸性.

定理2[17]　设x=(x1,x2,…,xn)∈和p∈.

1)当p≥2时, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur凸函数;

2)当p<0时, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur凹函数.

定理3[18]　设x=(x1,x2,…,xn)∈和p∈.

1)当且p≠0时, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur乘性凹函数;

2)当时, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur乘性凸函数;

从分析结果(见图4)来看：侧壁厚度越接近主壁厚，翘曲变形量越小。整体厚度趋近一致，收缩相对均匀，因此翘曲变形量相对较小。

3)当p=0时, 则Lp(x)是上的Schur乘性凹函数.

定理4[17]　设x=(x1,x2,…,xn)∈和p∈.

王曰：“大哉言矣！寡人有疾，寡人好勇。”对曰：“王请无好小勇。夫抚剑疾视曰：‘彼恶敢当我哉！’此匹夫之勇，敌一人者也。王请大之！……文王一怒而安天下之民。……而武王亦一怒而安天下之民。今王亦一怒而安天下之民，民惟恐王之不好勇也。”[4](P215-216)

2)当-1≤p≤0时, 则Lp(x) 是上的Schur调和凹函数;

3)当p>1时, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur调和凸函数.

4)当p<-1时, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur调和凹函数.

最近, 有关广义平均数和对称函数的Schur幂凸性的研究越来越多地受到许多学者的广泛关注[18-21]. 受此启发, 本文对多变量Lehmer平均Lp(x)的阶Schur-m 阶幂凸性进行了研究, 推广了定理1-4中的结果得到了如下定理.

首先我们定义双参数空间(m,p)在2中的6个区域:

 

则{(m,p)∈ 注意到区域Di与Ei关于点(0,1/2)中心对称, 其中i=1,2,3. 为了整体观察这些区域, 我们建议读者参考图1.

1)当0≤p≤1时, 则Lp(x)是上的Schur调和凸函数;

  

图1　双参数空间(m,p)的6个区域Fig.1　The six domains of two-parameters space

和

1)若(m,p)∈D1, 则Lp(x)是上的Schur-m阶幂凸函数;

2)若(m,p)∈E1, 则Lp(x)是上的Schur-m阶幂凹函数;

3)若(m,p)∈D2, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur-m阶幂凸函数;

4)若(m,p)∈E2, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur-m阶幂凹函数;

5)若(m,p)∈D3, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur-m阶幂凸函数;

6)若(m,p)∈E3, 则对于任意a>0, Lp(x)是上的Schur-m阶幂凹函数.

1　定义与引理

我们首先给出Schur-m阶幂凸函数的定义.

定义3　设f是定义在 Ω⊆上的实函数, 若对Ω中任意满足控制关系k(x)k(y)的x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn) 恒有

f(x1,x2,…,xn)≤f(y1,y2,…,yn),

其中k(x):是如下定义的函数

 

则称f为Ω上的Schur-m阶幂凸函数; 若-f是Ω上的Schur-m阶幂凸函数, 则称f为Ω上的Schur-m阶幂凹函数.

由定义3我们可知, 当m=1,0,-1时, Schur-m阶幂凸函数恰好分别转化为Schur凸函数, Schur乘性凸函数以及Schur调和凸函数.

打造应急管理、信息监管、投诉举报“三个平台”。打造应急管理平台，修订完善应急预案，建立风险分析评估制度，开展实战演练。打造信息化监管平台，建立昆明市信息平台和行政审批电子监察系统，开展全程视频监管试点，食品药品安全信息化已纳入昆明市智慧城市建设规划。打造投诉举报平台，建立市、县两级“12331”食品药品投诉举报中心，实行举报奖励制度，就维权调解和监管知识，轮训基层监管人员1680名。

我们给出有关一个对称函数的Schur-m阶幂凸性的一个判别引理.

引理1　设f是定义在对称凸集Ω⊆)上的连续函数且在Ω0上可微, 则f是Ω上的Schur-m阶幂凸(凹)函数的充要条件是: f 在Ω上对称, 且对于任意x=(x1,x2,…,xn)∈Ω, 有

(1)

和

(2)

在本文中, 我们给出一个与式(1)和式(2)等价的统一形式,.

企业的发展，凝结着无数基层员工群众的智慧和汗水，在倡导政治待遇和经济待遇的同时，更应当加强情感待遇。所谓情感待遇，就是领导者以真挚的情感，通过双向交流和沟通，增强与员工之间情感联系和思想沟通，平衡心理需求，建立和谐融洽的关系。注重情感待遇，是以人为本、适应社会发展的新型思想政治工作模式，着力构建尊重人、关心人、理解人的人文环境和生动活泼、团结和谐的工作生活氛围，使广大员工能够快乐工作、幸福生活。

(3)

由平均数的性质我们很容易验证引理2中的结论.

引理2[17]　设x=(x1,x2,…,xn)∈和p∈, 则

min{x1,x2,…,xn}≤Lp(x)≤max{x1,x2,…,xn}.

(3)节约用电，加强电能消耗管理。采用智能“声控”或“光控”照明装置坚决杜绝长明灯，车间及生活区做到“人离灯闭”，从而达到节电目的。

(x1,x2,…,xn)=x

引理4　设x=(x1,x2,…,xn)∈-{0}和 则

证明　令 由引理3可知

化妆品市场的消费者主要是女性，化妆品的消费存在着一些共性。例如，女性消费者容易冲动购买，易受环境影响而被动消费。然而，研究表明性格差异会对女性消费者化妆品的购买产生影响。目前，我国化妆品行业大多关注产品的设计与推广，往往忽略女性消费者使用化妆品的内在动机以及不同性格消费者对于化妆品的使用和购买习惯方面存在的差异。因此，企业经常面临难以满足女性消费者心理需求、与消费者情感联系较弱，消费者忠诚度不高等问题。因此，本文依据大五人格理论，从五个性格维度将女性消费者分为十类。从而，为不同类型的消费者提供具有针对性的营销策略。

(4)

由Hölder平均的定义可知, 因此, 结合式(4)可推出引理4.

2　主要结果

证明　因为

 

于是, 有

1992年是我国由计划经济体制向市场经济体制转变的重要一年。面对国内严重的政治风波和国际共产主义运动的严重挫折给我国的改革开放带来的不利局面，党以极大的政治勇气和极清醒的头脑，创新体制机制，树立人人都可以成才的观念，不断巩固和增强知识分子的政治认同。

 

情形2　若(m,p)∈E1, 即p(p-m)≤0≤(p-1)(p-m-1), 由式(8)可知

 

引理3[22]　设x=(x1,x2,…,xn)∈和 则

(6)

对式(6)关于t求导, 化简得

=tp-m-2φ(t),

(7)

其中

 

 

我们分以下6种情形进行讨论:

情形1　若(m,p)∈D1, 即p(p-m)≥0≥(p-1)(p-m-1), 由式(8)可知

φ(t)≥0

(9)

对于t∈(0,+)成立. 则由式(7)和式(9)得出, g(t)在(0,+)上单调递增. 于是, 由式(5)得出Δ(x)≥0对于x∈成立. 故由引理1可得Lp(x)是上的Schur-m阶幂凸函数.

其中

φ(t)≤0

(10)

对于t∈(0,+)成立. 则由式(7)和式(10)得出, g(t)在(0,+)上单调递减. 于是, 由式(5)得出Δ(x)≤0对于x∈成立. 故由引理1可得Lp(x)是上的Schur-m阶幂凹函数.

情形3　若(m,p)∈D2, 即p(p-m)>(p-1)(p-m-1)>0, 显然 对于任意 由引理2可知

a≤Lp(x)≤a.

(11)

于是, 由式(8)和式(11)可知

 

 

对于成立. 则由式(7)和式(12)可知, g(t)在上单调递增. 于是, 由式(5)得出Δ(x)≥0, 对于成立. 故由引理1可得Lp(x)是上的Schur-m阶幂凸函数.

情形4　若(m,p)∈E2, 即0<p(p-m)<(p-1)(p-m-1), 显然 对于任意 由引理2可知

(13)

于是, 由式(8)和式(13)可知

 

 

对于成立. 则由式(7)和式(14)可知, g(t)在上单调递减. 于是, 由式(5)得出Δ(x)≤0, 对于成立. 故由引理1可得Lp(x)是上的Schur-m阶幂凹函数.

情形5　若(m,p)∈D3, 即0>p(p-m)>(p-1)(p-m-1), 显然 对于任意 由引理2可知

(15)

于是, 由式(8)和式(15)可知

 

 

对于成立. 则由式(7)和式(16)可知, g(t)在上单调递增. 于是, 由式(5) 得出Δ(x)≥0, 对于成立. 故由引理1可得Lp(x)是上的Schur-m阶幂凸函数.

情形6　若(m,p)∈E3, 即p(p-m)<(p-1)(p-m-1)<0, 显然 对于任意 由引理2可知

a≤Lp(x)≤a.

(17)

于是, 由式(8)和式(17)可知

 

 

对于成立. 则由式(7)和式(18)可知, g(t)在上单调递减. 于是, 由式(5)得出Δ(x)≥0, 对于成立. 故由引理1可得Lp(x)是上的Schur-m阶幂凹函数.

3　应用

本节将利用定理5和引理4建立Lehmer平均与Hölder平均之间的不等式.

定理6　设x=(x1,x2,…,xn)∈若(m,p)∈D1, 则

Hm(x)≤Lp(x).

(19)

若(m,p)∈E1, 则式(19)的不等号反向.

证明　不妨设m≠0, 否则x), 此时定理6已经在[18,定理4.2]中被证明了. 由引理4可知,

x).

(20)

若(m,p)∈D1, 由定义3和定理5(1)再结合式(20)可得,

Lp(u)≤Lp(x),

整理可得式(19)成立. 若(m,p)∈E1, 则由定理5(2)可推出式(19)的不等号反向.

与定理6类似的, 由定理5(3)-(6)可得出以下定理.

定理7　对于任意a>0, 若(m,p)∈D2和 则

Hm(x)≤Lp(x).

(21)

若(m,p)∈E2和 则式(21)的不等号反向.

定理8　对于任意a>0, 若(m,p)∈D3和 则

Hm(x)≤Lp(x).

(22)

若(m,p)∈E3和 则式(22)的不等号反向.

参考文献:

[1] GUO Z J, SHEN X H, CHU Y M. The best possible Lehmer mean bounds for a convex combination of logarithmic and harmonic means[J]. International Mathematical Forum, 2013, 8(31): 1539-1551.

[2] CHU Y M, QIAN W M. Sharp Lehmer mean bounds for Neuman means with applications[J]. Journal of Mathematical Inequalities, 2016, 10(2): 583-596.

[3] HAN D, ZHANG W P. A new mean value related to D. H. Lehmer’s problem and Kloosterman sums[J]. Bull Korean Math Soc, 2015, 52(1): 35-43.

[4] REN D M, LU Y M. Mean value estimates of the error terms of Lehmer problem[J]. Proceedings Mathematical Sciences, 2010, 120(4): 507-513.

[5] WANG M K, CHU Y M, WANG G D. A sharp double inequality between the Lehmer and arithmetic-geometric means[J]. Pac J Appl Math, 2012, 4(1): 1-25.

[6] SCHUR I. Uber eine klasse von mittelbildungen mit anwendungen die determinanten[J]. Journal of Mathematical Physics, 2015, 22(11/12): 9-20.

[7] HARDY G H, LITTLEWOOD J E, POLYA G. Some simple inequalities satisfied by convex functions[J]. Messenger Math, 1929,58: 145-152.

[8] BULLEN P S. Handbook of mean and theirs inequality[M]. Dordrecht: Springer Netherlands, 2003.

[9] CHU Y M, SUN T C. The schur harmonic convexity for a class of symmetric functions[J]. Acta mathematica Scientia, 2010, 30(5): 1501-1506.

[10] CHU Y M, ZHANG X M. Necessary and sufficient conditions such that extended mean values are Schur-convex or Schur-concave[J]. Journal of Mathematics of Kyoto University, 2008, 48(1): 229-238.

[11] SHI H N, JIANG Y M, JIANG W D. Schur-convexity and Schur genmitetrically concavity of Gini mean[J]. Computers Mathematics with Applications, 2009, 57(2): 266-274.

[12] GUAN K Z. Schur-convexity of the complete symmetric function[J]. Mathematical Inequalities Applications, 2006, 9(4): 567-576. Doi 10.1155/JIA/2006/67624

[13] CHU Y M, LU Y P. The Schur harmonic convexity of the Hamy symmetric function and its application[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2009,2009(1): 1-10.

[14] ZHANG X M. Schur-convex function and isoperimetric inequalities[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1998, 126(2): 461-470.

[15] GU C, SHI H N. The Schur-convexity and the Schur-geometric concavity of Lehme means[J]. Mathematics in Practice Theory, 2009, 39(12): 183-188.

[16] XIA W F, CHU Y M. The Schur harmonic convexity of Lehmer means[J]. International Mathematical Forum, 2009, 4(41): 2009-2015.

[17] FU C R, WANG D S, SHI H N. Schur-convexity for Lehmer mean of n variables[J]. Journal of Nonlinear Science Applications, 2016,9: 5510-5520.

[18] YANG Z H. Schur power convexity of Stolarsky means[J]. Publicationes Mathematicae, 2012, 80(1): 43-66.

[19] YANG Z H. Schur power convexity of Gini means[J]. Bulletin of the Korean Mathematical Society, 2013, 50(2): 485-498.

[20] YANG Z H. Schur power convexity of the Daróczy means[J]. Mathematical Inequalities Applications, 2013, 16(3): 751-762.

[21] WANG W, YANG S G. Schur-m power convexity of generalized Hamy symmetric function[J]. Journal of Mathematical Inequalities, 2014, 8(3): 661-667.

[22] MARSHALL A W, OLKIN I, AMOLD B. Inequalities: theory of majorization and its applications[M]. New York: Springer, 1979.