平移和旋转是物体的两种运动现象，这种运动不会改变物体自身的形状、大小及其性质特征。几何教学中，利用点或线段的平移，以及线段或图形的旋转问题，实现思维类比和迁移，可以促进学生思维深化和拓展。以下从“等高等底三角形面积比到等高不等底三角形面积比”“三角形共高到共边的面积比”“等腰三角形绕顶点作360度旋转到圆幂定理、相交弦定理、切割线定理”“从直线的旋转和点的平移到圆的切线的形成”等实例出发，具体剖析由平移和旋转所产生的类比和迁移的思维进程，以期引发广大教师对平移和旋转问题足够的重视，并在教学中用好这一重要的几何教学手段，发展学生的思维认识水平。

一、平移和旋转对类比和迁移思维的启示

（一）平移对类比和迁移思维的启示

在初中几何中，比较简单且直观的移动是三角形其中一个顶点P相对于底边的平行移动，无论P移动到何处，移动后的三角形面积与原三角形的面积相等（如图1.1），这种动中的“不动”很值得品味。比较生动、内涵丰富的旋转是等腰三角形绕其顶点360°的旋转，旋转的结果是在形式上什么也没有改变：腰还是腰、角还是角、底边还是那个底边（如图1.2）。

图1.1

图1.2

在解决几何题过程中，有些问题如果只停留在原有图形，不对图形进行变动，是很难获得解题思路的。

例如：如图1.3（1），点M是直角三角形ABC斜边BC的中点，D、E分别是直角边AB和AC上的任意点，N是DE的中点，请写出MN与BD、CE的数量关系。

图 1.3（1）

图 1.3（2）

图 1.3（3）

在题目给定的信息中，比较明显的条件是一个直角两个中点。如何利用这些条件将MN与BD、CE联系起来？能否在寻找图形的特殊情况中发现解决问题的思路，成为解决问题的关键，这就需要对原图做各种机会变换。所以，将线段DE的两端点D、E分别沿着BA、CA移动到与A重合，如图1.3（2），此时MN就是MA，直角三角形斜边上的中线，BD、CE则分别就是BA与CA，显然2MN=BC，MN与BD、CE的数量关系为：4MN2=BD2+CE2。而一旦有了4MN2=BD2+CE2这一猜想，再加上直角和平方关系，联想到勾股定理就比较自然了，只要构造一个以BD和CE为边的直角三角形，然后再证明其斜边等于2MN即可，而2MN和2BM或2MC都和中点M有联系，让人产生联想，所以做如图1.3（3）辅助线就是一个逻辑必然（延长EM到H使EM=MH，连B、H，连D、H，只要2MN=BD即可）。这就是移动所产生的迁移效果：解决问题的路径探寻。

（二）旋转对类比和迁移思维的启示

在仔猪白痢发病初期，即只有腹泻，无其他临床症状，可以利用肌肉注射的方法进行治疗，在注射药物后，可有效治疗仔猪腹泻的症状。此外，也可以利用中药，如白龙散、金银花、大蒜液以及大蒜甘草液等进行治疗，还可以采用活性炭、矽炭银、补充硫酸亚铁或硒、调痢生、促菌生以及埋线等方法进行治疗，主要以止泻、助消化以及收敛为主。

汤家不愿接受警察的推断，真是溺水的话也得有尸体啊。汤家老老小小连同汤莲的几个好同学都出动了，在县城方圆十里的范围内搜索。一个月之后，还是没有结果。警察的推断是，沙河那么长，漂到下游的可能也是有的。汤家只好接受现实，唯有汤翠不乐意。活生生的一个人，说不见就不见了，总得有个说法啊。到最后，坚持寻找的只有汤翠。好在汤莲的同班同学侯大同也没有放弃，不离不弃地跟着汤翠，听说哪儿发现了尸体，他们总是惊惶不安地赶过去。

图 1.3（4）

图 1.3（5）

案例1：等高等底三角形面积比迁移到等高不等底三角形的面积比。

按照苏佩斯的看法，“公认观点”并不尽然是错误的，只是因其高度概括性而过于简单化，这种粗略性必然会导致理论的一些重要性质以及不同理论之间内在差别被省略。也就是说，“公认观点”在形式计算的逻辑意义上语义学的缺失使得一个复杂理论仅仅从句法结构来加以阐释，这通常很难对理论本性做出深入的理解。毋庸置疑，苏佩斯对传统“公认观点”（简单的句法观）的反思为其探索形式计算的语义学的科学理论提供了必要的理论准备。与之相对，科学理论的语义观则是以模型代替对应规则，主张模型作为一个非中介将理论与世界相联系，即在语义观看来，科学理论可以通过模型的集合从而得到描述。

（2）问的延长又为（3）问的旋转提

供思维路径。那么，这个命题的解题思路就不是那么容易产生：将△AFN绕点A顺时针旋转90°，通过∠N=∠NFD=∠BME=∠BMF'=45°和 F'E=EF、∠F'ME=90°则EF2=2BE2+2FD2。

因此，这种看似简单的点的移动和图形的旋转，其中蕴含着重要的教学价值。认识心理学研究表明，在人的认知结构中存在两个相对独立的系统：知识经验系统和认知操作系统。点的移动和图形的旋转，是认知操作系统中几何操作性思维的重要依托，通过移动和旋转，依据图形直观可以将隐含在图形中的一般方法或规律直观反映出来，使内隐性思维外化为一种操作。所以，有经验的数学教师在几何教学的解题教学中，总是在完成一道几何图形的证明或推理之后，引导学生对图形中有关的点和线段做移动和旋转方面的探索性反思，进而实现思维的类比和迁移。

二、平移旋转带来的类比和迁移思维的深化拓展

图1.3（6）

（一）平移带来的类比和迁移思维的深化拓展

类比是相关事物之间的某些相似关系的迁移，是一种具有发现与探索功能的思维方式［1］。类比只是随机的判断、猜想和推理，本质上是一种学习过程对另一个过程的影响，是经验对过程的影响。在几何教学实践中，通过点或线段的平移，往往能够产生两个或两个以上有着相似关系的命题。而通过两个以上命题间的迁移展开类比思维是平移的主要目的。

例题贵在精而不是贵在多，数学是需要思考的，数学教育的目的也不是培养熟练的工种[18]，因此有理数例题的配备除了注重学生运算能力，也要注重学生对有理数概念的理解与掌握，不能只注重是什么，更要知道为什么．RJ版教科书有理数的例题全部出现在有理数加减乘除运算的小节中，在1.2.1有理数小节中没有出现例题，这一定程度上体现出RJ版教科书重运算而轻概念．相反，CM教科书在每小节的KEY CONCEPT（核心概念）模块后都列举一或两道例题来帮助学生理解所给概念．

图 2.1（1）

图 2.1（2）

图 2.2（1）

图 2.2（2）

这是2015年福建省三明市中考的一道压轴题，第（3）问是一个结论探寻的问题。如果不是命题者通过旋转中的思维铺垫：（1）问中的旋转是为（2）问提供思路；而（1）问的旋转和

在图2.2中，无论点P怎么移动，只要△ABP'与△ACP'有一个公共边AP（'公共边和BC的交点为P），那么就一定有：。这样通过点P的移动，三角形共高问题就被拓展到三角形共边问题。

过P的⊙A的割线有无数条，其中有两条非常特殊，如图3.2（2）所示：PD和PH，它们是⊙A的割线绕点P旋转时，割线与⊙A的两个交点重合时的情况。

如图2.3是共边定理的四种情况：

如图2.3（1）

如图 2.3（2）

如图2.3（3）

如图2.3（4）

（二）旋转带来的类比和迁移思维的深化拓展［3］

案例3：如图3.1（1），点P是等腰三角形底边BC上的任意一点，求证：BP·PC=AB2-AP2.

这是勾股定理与等腰三角形的结合，如果只停留在图形中线段关系的转化和勾股定理的应用，是一般的思维过程，因为要获得证明,只要做BC边上的高AD即解决问题。

BP·PC=（BD+DP）·（BD-DP）＝BD2-DP2=AB2-AP2，如果将整个图形绕点A做360°旋转，就出现图3.1（2），此时，BC是半径为AB的⊙A的一条弦。并且，弦上任意一点P分割弦所得两线段的积只和这个圆的半径以及这个点到圆心的距离有关！假设圆的半径为r，P到圆心的距离为d，则BP·PC=r2-d2（其实就是圆幂定理）。

如图3.1（1）

如图3.1（2）

过点P做⊙A的另一条弦MN，显然有：MP·PN=r2-d2=BP·PC.事实上过P的所有弦，被P分割后的两线段之积都相等，这个性质就是相交弦定理。

如图3.2（1），点P是等腰三角形底边BC延长线上的任意一点，求证：BP·PC=d2-r2。

这个结论很容易获得证明。同样，也将图形绕A做 360°旋转，就出现图 3.2（2），此时，BP成了⊙A的割线，过P做⊙A的另一条割线MN，显然有MP·PN=d2-r2=BP·PC（其实就是圆的割线定理）。

其实，以上思维深化的结果就是三角形的共边定理：若线段BC与线段AD交于P，则有：。

以项目所在位置的地形条件为依据，综合考虑资金筹措状况，在按照“安全、耐久、节约、和谐”原则的基础上开展勘察设计。根据区域各项基本情况，坚持以人为本和可持续发展，做好地形选线与地质选线的前提下，注重安全与环保，紧跟省干线公路“畅安舒美路、多彩贵州行”的建设步伐，积极做好沿线绿化，保证景观设计合理性与可行性，努力打造“畅、安、舒、美”的公路工程。

通过上述直线的旋转和点的移动，我们非常直观地理解了圆的切线与圆只有一个交点（切点），且垂直于过切点的半径。这与2014版北师大版九年义务教育数学教材P148“议一议”中（3）所探讨的问题一样，但其思维角度却大相径庭。其实，如果有意淡化概念的抽象性，而强化概念 形成的直观性，依据上例的旋转结果也可以将切线定义为：过圆的半径外端且垂直于半径的直线就是圆的切线。

四、移动和旋转在类比迁移思维培育中的综合运用

案例4：如图4.1等腰△ABC底边为BC，点O在BC上，∠MON=∠B，求证：BM·CN=BO·OC.

这是一线三角的常见问题。［3］

只要证明△BOM∽△CNO，就有：BM·CN=BO·OC.

其次，建构新旧媒体协同一体的信息发布体系。 新媒体作为互联网时代信息发布的崭新方式，拥有比传统媒体传播范围广、时效性强、受众群体广大等优势。 由于其自身信息发布的严格审核机制，传统媒体拥有可信度高等特点的同时，也积极吸纳网络信息技术，通过开创公众号等占据了信息发布的若干阵地，具有与网络红人、网络大V类似的话语权。 传统媒体和新媒体并非相互排斥，而是呈现出相互渗透、相互补足的趋势。 相关研究表明，传统媒体对网民的议程设置依然具有巨大的影响，并且同时影响网络媒体的议程设置。[22] 在改善新媒体应对公众网络事件技巧的同时，也应该重视传统权威媒体的议程设置能力。

什么是集中技训？西南科技大学城市学院定位为教学应用型大学，为了响应国家培养创新型、应用型管理及技术人才的目标，笔者所在学校进行教学实践环节改革，提出集中技训这一综合教学环节，具体实施为：本科学生在大学期间进行六次集中技训，学校教务处安排三次，学院各专业安排三次。教务处安排以工程基础训练为主，学院各专业以行业要求为依托安排岗位能力训练为主。专科学生在大学期间进行四次集中技训，学校教务处及学院各专业各安排两次，要求同本科学生。

若∠MON的顶点O在BC上任意移动（不与点B、点C重合），案例四的结论还成立吗？若∠MON绕点O旋转（OM与BA 的交点M不与B重合且只在BA或其延长线上，ON与CA的交点N不与C重合且只在CA或其延长线上）案例四的结论还成立吗？如果两问题的结论都成立，请分别画出特殊位置的图形。

这是对同一问题做两种不同变换所带来的思维结果，通过画图再寻找相识三角形（点M在BA上、与点A重合、在BA延长线上；点N在CA上、与点A重合、在CA延长线上），使移动和旋转后的不同图形在相同的思维活动中得到统一，这种统一深化了对一线三角问题的认识。

案例5：如图4.2直线AP是⊙O的割线，点A、P是直线与⊙O的两个交点.

若将直线AP绕点A做顺时针旋转，那么点P将沿着圆弧PA移动并向点A逼近。很显然，P越趋近与A，则∠OPA和∠OAP越大（PA越小∠O越小）且越趋近于90°。当点P与点A重合时，∠OAP=∠OPA=90°。此时，直线与圆只有一个交点，且OA⊥AP。

在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°。（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG如图1.3（4）,求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N如图 1.3（5）,求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变如图1.3（6），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系。

图3.2（1）

图3.2（2）

如图4.1

显然，PD2=PH2=d2-r2=BP·PC.这里，PD=PH是圆 的切线长定理；PD2=BP·PC是切割线定理。

图4.2

五、结语

人的思维总是在相应的情境中展开的，几何教学中点的移动和图形的旋转实际上就是对原有几何图形（情境）的一种改造和创生。在这种创生性移动和旋转中，人的思维重新被激活和调度，从而进行类比性解决问题的方法迁移，或实现问题解决的成果转化，并在对原有问题进行新的思考和深化中产生新的思维成果；这样的创生性移动和旋转，使人的经验和知识得到建构，从而实现新旧方法和新旧知识的联通，获得对整个知识系统较为深刻和全面的理解。因此，在几何教学实践中，自觉地反思和设计几何命题中点和线段，乃至图形的移动和旋转变化，对强化同类或相似问题的几何思维具有重大的意义。

二是复杂的多变性。青年价值观的多变性体现在三个方面：首先，同辈群体对青年价值取向的影响很大。青年往往喜欢和同伴们在价值取向上保持一致，从而忽略了个体的差异性以及价值观念的合理性。其次，青年为了获得他人的认同，乐于追求时髦的事物，有时甚至标新立异，借此来展现自己的与众不同。再次，价值倾向易受到外部因素的影响，但是出于赢得他人认同而违背自身发展利益形成的价值取向必然不会持久。

概言之，在初中几何教学中，聚焦点或线段的平移和几何图形的旋转的典型案例，对于发展学生的思维类比和迁移有着事半功倍的作用，要给予高度重视。

参考文献：

［1］王培甫.数学中之类比——一种富有创造性的推理方法［M］.北京：高等教育出版社，2008.

放弃大学里助教的身份，决定结束两地分居的生活跟伟翔到深圳来时，母亲就以过来人的身份提醒我：生活是你自己选择的，将来无论有怎样的结局，都不许抱怨。

［2］张景中.几何新方法和新体系［M］.北京：科学出版社，2015.

［3］张景中.一线串通的初等数学［M］.北京：科学出版社，2015.

本例患者为同时性甲状腺淋巴瘤并甲状腺乳头状癌的双原发癌，近年研究发现EB病毒感染与甲状腺癌发生的相关[26]，大量的研究证实EB病毒感染与淋巴瘤发生密切相关，因此，随着检测技术的提高，两种疾病同时检出的几率会更高，值得进一步在分子水平研究其内在的相关性。本例中年女性，以颈部包块增大为主要临床表现，经FNAB确诊，手术切除治疗，6周期CHOP方案化疗，病情稳定。虽然属于同时性双原发肿瘤，但根据各自不同的治疗原则制定治疗方案仍可以取得满意疗效。

［4］吴晶君，刘海涛.基于变异理论的初中数学变式教学实践与思考［J］.初中数学教与学，2016（4）.