古希腊学者苏格拉底在教学生获得某种认识时，不是把知识直接告诉学生，而是先向学生提出问题，让学生回答，如果学生回答错了，他也不直接纠正，而是提出另外的问题引导学生继续思考，从而一步一步地帮助学生获得正确的结论。他的这种教学法后人称之为“问答式教学法”，在教育中，苏格拉底总是自始至终地以师生问答的形式进行。

高中数学教师都会在课堂教学中向学生提出问题，而学生也总是会从不同的角度用各种方式回答问题。尽管这些回答有对有错，但学生的思路往往始于直觉，这是他们已有的认知结构和新知识的不明显、不清晰的结合，是同化的开始，或者说是一个“灵感”，教师如何在课堂上捕捉到这稍纵即逝的“灵感”，并发挥其作用？在相关课题研究的实施过程中，笔者与其他成员有意识地在课堂上运用了问答式的教学，并把它与传统的教学方式相比较，发现问答式的教学更容易诱发学生的“灵感”与“顿悟”，还可以让学生的思维得到有效的训练，从而提高课堂教学效率。

一、调动学生思维的积极性，克服思维惰性

以一堂课的教学为例来说明。这堂课是人教版必修一§1.3.2节《奇偶性》，主要内容是使学生理解奇偶性的概念，学会利用定义判断简单函数的奇偶性。在讲授过程中，教师为了分散难点，没有完全按教科书上的表述结构讲，部分教学过程如下：借助几何画板学生直观感受函数f(x)=x2与f(x)=2- ||x图像上点的特征后，引入偶函数的定义(教师板书)：“如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。”然后进行课堂问答：

教师：我们知道，偶函数的图像一定是关于y轴对称的，图像关于y轴对称的函数一定是偶函数。函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是否是偶函数？大家思考一下，我请一位同学回答。

学生甲：不是偶函数，因为图像画出来不对称。

本研究中所得数据采用SPSS 19.0统计学软件进行分析，计量数据采用t检验，计数数据采用x2检验，当P＜0.05表示差异有统计学意义。

教师：说得很对。那函数f(x)=x2，x∈［-2，2］是不是偶函数？

高安方言中的“杀人(sat4 in13)”作为动宾结构时，用法和含义与普通话无异，但接在其它形容词或动词之后时却转变为程度副词，表示程度极深。例如：

学生甲：是偶函数，因为图像画出来是关于y轴对称的。

教师：对。再判断一个函数f(x)=x6，x∈［-2，2］是不是偶函数？

（学生们大笑）

教师：请坐！好像同学们都有同样的想法，执着于没学过函数f(x)=x6的图像，故而不能判断是不是偶函数？那大家是怎么理解偶函数的定义的？

学生乙：其实我一直奇怪偶函数的定义，为什么不直接说“图像关于y轴对称的函数是偶函数”，而是那么复杂的叙述，还看不明白。

教师：所以说嘛，关键知识点要记清楚，要不然后面的解题过程都变成无用功了。不过，虽然错了，我们也可以发现求a只需要找到一个条件，因为只有一个变量。偶函数能告诉我们什么？

学生乙：上节老师您让我们明白了数学语言对图像特征的描述更为准确且严谨，让我们的判断有所“依据”，就像裁判在篮球比赛中判定“罚球”一样要根据清晰的规则，而不是人为随意判定，引发争议。

教师：对了。偶函数的定义也是为了更准确地描述偶函数的图像特征，我们如何从偶函数的定义说明函数f(x)=x2，x∈［-1，2］不是偶函数？

学生乙：x=2时，f(2)=4，应该有f(-2)=4与f(2)对应相等，可是f(-2)不存在，所以不是。

除镉沸腾层稳定的第一要素在于控制反应器内适宜的渣量，当沸腾层较“稀薄”时，可以通过补加锌粉及调整底流加入来实现，但是锌粉的过量加入增加了生产成本，并导致产出镉渣品位不高，使下一步镉渣处理流程加长。按初始设计理念，单槽锌粉加入量按收镉量的1.0～1.25倍进行调整，可保障沸腾层形成所需的渣量。

教师：解释得非常好，请坐！当然x=1.1或1.6等等，f(-1.1)和f(1.6)也是不存在的，大家看看是不是这个原因，图像少了［-2，-1)这一部分变得不对称了。

在学生思考3分钟后进行课堂问答:

教师：对，只不过我们是用数学语言说明了不对称这一情况，判断不是偶函数。我们又该如何用定义证明函数f(x)=x2，x∈［-2，2］是偶函数？

学生丙：证明 f(-2)=f(2)，f(-1)=f(1)就行。

成立家长导师团，利用互联网平台与学生家长共享学校的新闻、信息，并给学生以家庭作业的形式与家长共同探讨职业生涯规划问题，随后逐步细化个人规划，尤其是在留学择校和就业观培养上，需要尽早树立正确的观念，结合个人兴趣与特长，合理作出抉择。家长需引导学生树立正确就业择业观，合理平衡就业与待遇薪资之间的关系。包括在面对文化差异的时候，如何处理人际关系，解决生活中遇到的问题，都是在留学前需要去做好心理预设的，以尽早适应留学生活，因此家长需要多关注留意学生表现出来的各方面情绪，帮助其做好充足准备。

教师：你就肯定f(-1.2)=f(1.2)？

3）地面数采系统（PLC+PC）。地面数采系统与中控系统相融合，可远程实时监控各撬装分离器、降压流程及大罐所安装的压力、温度，液位及分离器出口产量，原DCS可监控采油树油压、套压及外输系统各级压力及温度，于紧急情况可远程关井。

学生丙：也证一下。

教师：那f(-1.1)和f(1.1)呢？还有f(-0.1)和f(0.1)呢？也证一下，证得完么？

学生甲（在纸上画了画后）：我感觉是偶函数，可是图像我不会画，所以我不确定。

教师：当然可以，你说的就是我想讲的，数形结合更形象，更直观，大家在没有思路的情况下可以多考虑考虑这种方法。

教师：请坐。这“任取”说的好，跟“增函数”中的“任意”是一样的意思，不可以取特定值。现在有了“定义”这个法宝，我们回过头看看函数f(x)=x6，x∈［-2，2］，没有图像，能不能说明是偶函数？

中国社会经济发展进入社会主义新时代，社会主要矛盾发生变化，具体到高等教育领域闻言，则表现为社会发展对人才培养更高质量的需求、人民群众接受更好教育的需要与教育发展不均衡的矛盾。“一带一路”沿线国家语言和法律繁多复杂，成为我国推进“一带一路”倡议的重要影响因素，对我国高等教育发展提出了更高的要求。如果相关建设者存在语种沟通障碍，无疑会对我国“一带一路”建设会带来很大的负面影响[2]。以国际通用语言英语为基础，推进复合型人才培养的法律英语教学，是新时代我国高等教育解决主要矛盾，创新发展的必然要求。

任取x∈［-2，2］，证明f(-x)=f(x)就行。

由于钻孔灌注桩使用的钻孔灌注设备的不同，其相应的施工工艺也不同，本文主要讨论循环钻机的施工工艺，具体如下：找平场地→测量并确定孔位→埋设防护桶→钻机设备到位→钻进→第一次先清孔→检测钻洞→制作钢筋笼→钻孔下导管→二次清孔→水下混凝土浇筑→拔管→桩基成型。

教师：很好，请上黑板证明一下。

(教师批改并强调证明格式)

（2）项目实施依据：项目组织实施、过程监管及验收评估所依据的资料包括项目申报书、项目任务书/下达书/合同、月活动项目一览表、项目团队人员名单等。

教师：再来，快速判断函数f(x)=x6，x∈［-1，2］是不是偶函数？

学生丁：肯定不是，f(-2)都不存在。

教师：很好！请坐。大家想想能再进一步说明这么快速判断的方法么？

学生戊：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则一定不是偶函数。

教师：定义域关于原点对称了呢？

学生戊：再从定义出发，证明函数是否对于定义域内任何一个x，都有f(-x)=f(x)。

直到前段时间去希腊的圣托里尼海岛餐馆，我对于死亡的定义才得以更新。看了传说中最美的日落，走过蓝顶教堂、白色小巷、彩色沙滩，嬉水在蔚蓝海滩边，我和同行的朋友乘兴随意漫步在伊亚小镇。海岛风情独特，引人入胜，可最令我惊叹的，还是几乎家家门前都可见的小玻璃柜。

教师：我们是不是可以这样归纳：①首先判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称，则一定不是偶函数；②然后从图像出发，观察函数图像是否关于y轴对称或从定义出发，证明函数是否对于定义域内任何一个x，都有f(-x)=f(x)。

教师：大家搞清楚了么？

学生们：搞清楚了！

教师：有“偶”就有“奇”，我们接下去看看大家对“奇函数”的理解，就知道大家对“偶函数”搞清楚没？

这堂课首先要解决的就是抽象与具体的问题，因为偶函数与奇函数都是抽象的概念。抽象性具有相对性，比如对小学生来说，3+5=8是具体的，x+y=z是抽象的；对于中学生来说，x+y=z变成具体的了，但f(x)+g(x)=h(x)是抽象的。对于这堂课的听众——高一学生来说，如果按照传统的教学方式授课，抽象的概念集中在一起，大多数学生可能会听得懂却理解不透。教师运用问答式教学就有力地调动了他们思维的积极主动性，通过问与答由函数的单调性入手，从“图形语言”到“文字语言”，再到“数学符号语言”的过渡，实现“形”到“数”的转换，理解偶函数的概念就较为容易了。最后从教师的两个“问”，学生丁和戊的“答”来看，他们确实掌握了偶函数的概念和证明方法。再从随后的课堂现场观察，学生在证明奇函数的过程中就显得轻松、活跃，没有之前的束手束脚。

二、培养学生思维的灵活性，克服思维僵化

再看看下面的例子，这是一些学生在函数的奇偶性运用于解题的不同理解：

(多媒体展示例题)已知函数)，g(x)=f(x+a)，且函数g(x)为偶函数。

学生们：是。

教师：题干中第一个已知g(x)=f(x+a)，g(x)的表达式是什么??

学生一

教师：第二个已知函数g(x)为偶函数，对我们有什么帮助？

近日获悉：中国科学院合肥物质科学研究院核能安全技术研究所项目团队研制的液态金属锂实验回路，在国内首次实现1 500 K(相当于1 227摄氏度)超高温稳定运行1 000 h，标志着我国先进核能系统液态金属冷却剂关键技术取得新突破。

学生二：g(0)=0，然后有，就可以求出a了。我的答案是，老师对么？

烟气再循环技术是指利用再循环风机抽取一部分烟气净化后的洁净烟气，回流至垃圾焚烧炉，通过在炉内形成贫氧燃烧区而抑制垃圾焚烧过程中 NOx生成的脱硝技术［6］。

教师：不对哦！正确答案是。我们来看看什么情况？是计算错误么？

学生二（看着草稿）：2 得，，没算错呀！

教师：那不是计算问题了。得回到头看看是怎么来的？

学生二：函数g(x)为偶函数，g(0)=0，没问题呀！

学生三：有问题！g(x)为奇函数才有g(0)=0，偶函数是关于y轴对称的，g(0)不一定为0。

学生二（挠挠头）：我记错了。

教师：书中对于概念的阐述是有些抽象。在我们对其解释之前，首先让我们一起来回顾一下“增函数”，为什么不直接说函数图像上升的部分是“增函数”，或者说在一个区间里，y随x增大而增大，则是“增函数”，而定义为“对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)。”

学生三：我是想到偶函数对于任意x∈R，g(-x)=g(x)都成立。

（上讲台用实物投影仪展示）由g(-x)=g(x)可得

教师（敲黑板说重点）：注意到偶函数定义对于任意x∈R，上式都成立。

（给学生们一分钟时间消化后）

教师：刚刚我们是从偶函数的定义着手解决的，那偶函数图像是怎么样的？有帮助么？

学生四：老师，我就是考虑到函数g(x)的图像是由函数f(x)的图像向左平移a个单位得到的，我就先画出函数f(x)图象：（上讲台用实物投影仪展示）

∵函数g(x)为偶函数，∴函数g(x)图像关于y轴对称，则函数f(x)图像向左平移个单位，因此。老师，这样解可以吧？

(4)保留um弧线，连接mn线段，ny线段，yx线段，保留xv弧线，再将除A 、B中心线及φe圆以外的线删除，再在x处倒Rs=1.5的圆角，得图6。

学生丙（尴尬）：我知道了，要任取x∈［-2，2］。

学生四：老师！我算出来的答案是一样的，不过我是用诱导公式做的。

Honest()(Ŝ)⊃∃X∃x.Computes(X,{RB}K)∧Send(X,x)∧Contains(x,{RB}K)∧After(Send(X,x),Receive(B,{,

教师：哦！诱导公式？说说看。

学生四：∵函数g(x)为偶函数，∴g(x)=sin(2x+2a+)最后要化为cos2x或-cos2x根据诱导公式口诀：“奇变偶不变。”那么

教师：这个解法很巧妙，“奇变偶不变”这个口诀让解题思路更简捷了，不过，口诀是我们平常总结出来的，不是定义、定理，在简答题中就不够严谨了。不过，这道题是填空题，还是可以的。其他同学还有不同解法么？

教师：很好！能想到用极值处理，真的很不容易，因为我从作业和考试中感觉大家都在尽量回避导数方法解题，总是导数觉得不好掌握。其实用好了，对很多题来说不仅更容易理解，运算更快捷，上面就是一个很好的例子。还要注意一个，如果这道题改为奇函数，能用么？

学生五：不能用，奇函数g(x)在x=0处不一定存在极值。不过，不是可以直接用g(0)=0么？

教师：非常好，你对奇偶函数和极值关系掌握得还是比较过硬的，请坐。

教师：同学们，一题有多个思路是很正常的，有些思路可以用，有些却不能用，有些思路的计算量会大些，有些却很便捷，这些都需要大家平时多思考，多归纳，才能一击即中……

以上是一堂常规课的教学实录，教师并未做特别的准备，提问也是随机的，教师与学生之间的问答是照实况记录下来的。可以设想一下，如果这些解法都用教师的思维方式讲解，可能就不会出现“求导”等解法，更不会出现教师给“g(0)=0”纠偏的机会。另外，教师将各种解法一一呈现的过程中，学生是很难较长时间集中注意力的，各种解法的快速呈现也使得他们没有足够多的时间去消化，这就造成了很多学生反映上课都听得懂但遇上类似问题还是束手无策。本节课上，教师运用问答式教学将不同程度的学生对待同一个问题的不同思维方式都一一诱导出来，而且学生是用学生的思维方式来理解不同的解法，与传统的教学方式相比较学生会更容易掌握。

三、激发学生思维的创造性，克服思维惯性

在课堂经常运用问答式教学，会促使学生在课堂上形成的良好思维习惯在学校与生活中更有活力，喜欢并勇于说出自己的想法。班上有一位学生分享了他寒假到国外探亲的一件趣事：有次在超市购物，收银台并没有很多人排队，但还是等了好一会儿，原因是一当地老太准备将积攒的超市返还现金券用于此次购物，现金券面额有1.10欧元、1.80欧元、2.40欧元等，耽搁时间的原因是因为她认为完全可以付清41欧元70欧分的帐单，不想再额外付现金了，当然也不想多付券（规定：用现金券不找零）。由于各种面额现金券的数目都不确定，有的多，有的少，她几次都不能点出同样数值的现金券，收银员劝说无效，只能帮忙清点，两人折腾了很久还是搞不定。排在这位学生前面的年轻人也加入帮忙计算，后又无奈地回到队伍，他观察了一会儿又上前，他先用计算器很快地计算出现金券共48欧元30欧分，然后拿出6.60欧元现金券，将剩余的现金券交给收银员，收银员和老太清点完都很惊讶，老太在出门前都一直冲他竖着大拇指！学生说，他起初是想先把现金券分类的，然后再计算各拿几张可以付清，想想又觉得太麻烦了。后来他突然发现前几次她们虽然没清点出同样数值的金额，但也没剩几张，那是不是可以反过来处理，一试果然成功解决问题，为此他得意了好久。笔者认为这件事其实说明了一个问题：课堂上问答式的教学使学生的思维最大限度处于发散状态，习惯成自然，才会在面临实际问题时不自觉运用到“正难则反”的数学思维。

课题组的问卷调查统计数据表明，大部分教师课堂教学的问答因时间的因素总是铺不开面，或者没有给学生充分思考和回答的时间变成了自问自答，或者用集体作答代替个别提问来节省时间，觉得这样可以多讲几道题、几种方法。可是，本文实例中的两位教师的课堂教学基本上都是问答式，整堂课几乎都是问答，学生的某些回答不在教师预料之中，顺其自然又要影响教学计划，怎么办？他们的回答都很一致：改变教学计划，下节课再讲。教师应该考虑的是如何有效设问让学生迅速进入状态，并敏锐地从学生回答中提取所需要的信息，而不是勉强地往下授课。数学每个章节的知识点间关联都比较紧密，比如在“教学实例一：偶函数的教学”中，如果学生没有很好理解掌握上一节课“函数的单调性”的内容，那么这一节、下一节或者下下节课总会有一部分学生慢慢地跟不上教师的节奏。再者，从课堂观察和课后跟踪发现：这二位教师的课堂极少有完不成计划的，虽然不在同一所学校，但他们在各自年段的教学成绩均名列前茅，而且班级的优秀率都远超其他班级，这当然不是巧合，因为从学校反馈过来的数据显示，他们多年的教学成绩都是如此。由此可见，他们所采用的问答式教学方法是能够有效地启发学生思考，从而提高学生的解题能力。因此建议教师在课堂上多用问答式教学法，问答式教学会时不时留给了学生自己思考、自己动手写写画画的时间，在学生自己支配的时间内不自觉地把每节课的教学任务从单纯的听、记忆变成自己思考、研究。一旦养成自主学习的习惯，学生的学习就由被动变成主动，学习兴趣也能随之增长，注意力集中了，想法也就多了，思维得到了有效训练，课堂的效率也提高了。

参考文献：

［1］张楚廷，母庚才.简明中学数学学科教育学［M］.北京：中国人民公安大学出版社，2003.

［2］董荣森.关注数学核心素养，探寻问题之源［J］.新高考:高三数学，2016(4).

［3］张齐华.以“问题解决”促数学核心素养的发展［J］.教育研究与评论:小学教育教学版，2016(11).