一、从一道中考题的解法谈起

例1 (2015年无锡中考题)如图1,Rt∆ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为( )

解法1 由翻折性质可知欲求B′F只需求BF,又AB=5,问题就转化为求AF的长.考虑到CE⊥AB且∆ABC为直角三角形,利用同一三角形面积相等或相似三角形的性质可得下面只需求出EF即可.由翻折的性质可知∠ECF=45°,所以∆CEF为等腰直角三角形,得所以

解法2 从位置特征来看，∆CED与∆B′FD组成一个X型基本图形,若能证得CE∥B′F且求出B′D与CD的比值,则问题迎刃而解.由翻折的性质可知∠B′+∠B′DF=∠B+∠CDE=∠B+∠A=90°,所以∠B′FD=90°,得CE∥B′F,所以又CB′=CB=4、CD=CA=3,得B′D=1,故

智库的主要产出是创新的思想、观点和建议等，这些成果决定了智库影响力和社会的认可度，也是智库生存发展的根本。

解法3 方法2中的X型基本图形实际上就是利用∆B′FD∽∆CED,而∆CED≌∆CEA且∆CEA∽∆BCA,则∆B′FD∽∆BCA,所以易得

解法4 易知由方法2可知B′D=1且∠B′FD=90°,所以

解法5 根据方法1可得,又由方法2可知B′D=1且∠B′FD=90°,由勾股定理得

1.列方程(组)求线段长

假设港口城市投资收益函数中，D港的使费单价由0.38元/t变为0.36元/t，此时两城市投资港口的情况见表4。由表4可知：随D港使费的降低，D市的投资回报率下降。在D市的投资能力为73.6亿元、Y市的投资能力为40亿元时，城市投资均衡状态不变化。然而，D市的投资能力为73.6亿元、Y市的投资能力为50亿元时，D市港口使费下降使得其投资回报率从12.09%下降到9.50%。此时，D市的港口投资回报低于城市平均投资回报(9.59%)，D市以最大能力投资港口变为不投港口市以最大能力投资港口

反思1 为什么会有这么多解法?每种方法的生成有其必然性吗?

从转化思想来看,所有的数学问题都是运用所学过的知识来求解的,这些解决相关问题的知识点通常称之为知识源.本题属于求线段长的问题,而回顾初中阶段所学过的与求线段长有关的知识源主要有：探求所求线段与已知线段(或已求线段)的数量关系，解直角三角形(含勾股定理与锐角三角函数)，找相等关系列方程(组)和直角坐标系内的两点间的距离公式，等.解法1是运用知识源1寻找与所求线段B′F相等的线段BF,通过求BF来求B′F的长;解法2是通过基本图形“X”依据比例式找B′F与可求线段CE间的数量关系;解法3也是运用知识源1,通过三角形相似对应边成比例,找出所求线段B′F与已知线段BC的数量关系;解法4与解法5都是通过解直角三角形求解的.

反思2 如何学会用知识溯源的方式探求相关解法?

下面以解法5的思路生成为例作一详细说明.其实,运用知识溯源式目标分析法解决问题主要分三步:首先要明确目标是什么(求线段B′F的长);其次通过追根溯源回顾初中阶段所学过的与目标有关的知识源(见上),明确基本转化方向;最后根据条件选择所适用的知识源,逐步转化求解(不妨选用“勾股定理”处理).

毋庸置疑,运用勾股定理求解(即解法5)是上述五种解法中最繁琐的方法,而方法3是最简单的方法.对比两种解法我们惊奇地发现,解法3的优越性在于:首先,所求的过渡线段最少,只求了B′D的长,便通过相似三角形对应边成比例直接找到了已知线段和所求线段间的数量关系;其次,对翻折的性质挖掘最充分,不仅利用了对应线段相等求出了B′D的长,而且还利用对应角相等证明∆B′FD为直角三角形;最后,创造条件或利用的知识点最少,而且数据简单,方法明了.

反思3 在上述5种方法中哪些方法比较简捷?怎样才能不走弯路，直接找到最优解法?

(四)王罕岭仍居住着为王氏守山的后裔。外湾村民俞金洋说：“我们祖上到王罕岭守山至今已有十多代，听老一辈讲，最早为观(新金庭观)下王家(华堂村王氏)望山的是小将曹氏人，后来是坑西吕姓人，接着是我们俞家。过去，这里的山、地、田都是观下王家的，土改时政府把土地和山林分给了我们。”

一旦确定用知识源“勾股定理”来求解,就需寻找或构造直角三角形.目测∠B′FD为直角,如何证明呢?注意到∠A+∠B=90°,而由翻折的性质可知∠B′=∠B、∠B′DF=∠CDE=∠A,故问题得证.往下只需求出B′D与DF的长即可.由CB′=CB和CD=CA易得B′D=1,所以关键是求DF的长.由条件不难求出AB、AE、DE、BE、CE,至此要求DF只需求出EF的长.再回顾知识源，自然想到在Rt∆CEF中运用勾股定理求解,可惜CF的长度也未知且不易求解,故想到只能证明Rt∆CEF为特殊三角形,从形状观察当然猜想是等腰直角三角形,再由翻折性质挖掘出∠ECF=45°,问题迎刃而解.

换言之,在求线段长问题时,若要寻求最优解法不妨坚持如下原则:其一,直接找所求线段与已知线段之间的联系,尽量减少求过渡线段的个数;其二,充分挖掘关键条件的潜在性质,挖掘越充分方法越简单;其三,求解过程中的数据越简单越接近优解.

二、同类型问题的解法

本题还有更多的解法,此不一一列举.现就思维训练和能力发展,作如下反思.

例2 (2017年武汉中考题)如图2,在∆ABC中,点D、E分别在边BC上,∠DAE=60°,BD=2CE,则DE的长为______.

当红外测温仪接通电源时，AT89S52单片机自动复位，开始运行程序。程序首先对AT89S52、LED和串口初始化，然后开始监控串口，当单片机接收到外部设备发送到串口的可识别测温指令时，读取红外测温传感器指令并通过串口发送给外部设备。若单片机监测到串口空闲或者没收到可识别的测温指令，则进行键盘扫描判断是否有按键按下：若无键盘输入，返回程序首部继续监控串口；若有键盘输入，区分键盘值，第1个按键为目标温度测量，第2个按键为环境温度测量，单片机读取传感器内相应温度数据，并将计算的温度值用数码管显示，完成一个工作循环。具体工作的流程图如图8所示。

思路剖析 由AB=AC和∠BAC=120°联想到，过点A作AG⊥BC于G(如图3),则所以 BC=2BG=2AB·sin 60°=6.

上料口处由人工或机械添加枝丫材，在摆动辊及一次料仓完成一次压缩；在上下进料辊作用下将枝丫材推挤到二次压缩料仓，当二次料仓满载后，在压缩油缸作用力下，压缩爪闭合完成二次压缩；在推进油缸作用力下，将枝丫捆推进到打带口处由自动打带机完成打带，二次压缩料仓张开返回初始位置状态，完成一次压缩循环作业；当压缩后的枝丫捆达到定长度值时，启动锯截按扭，油锯由怠速加速至工作转速，并在电动机驱动下横截枝丫捆材，完成锯截程序。

由等腰三角形和半角模型想到把∆ABD绕点A按逆时针方向旋转120°至∆ACF处,连结EF,则AD=AF，且易得∠EAF=∠EAC+∠BAD=60°=∠DAE.依据“边角边”定理，可得∆ADE≌∆AFE,所以DE=FE.

至此,三条线段BD、DE和CE间的所满足的数量关系就转化为∆CEF三边之间的数量关系.

注意到CF=2CE，且∠ECF=60°,故取FC的中点H,连结HE,易证∆ECH为等边三角形,进而得∠HEC=∠HCE=60°，

对于学时安排，调查中有78名（21.61%）学生认为理论课授课速度较快，272名（75.35%）学生认为适宜，11名（3.05%）学生认为较慢；调查中有135名（37.40%）学生认为实践课对学习理论知识帮助很大，210名（58.17%）学生认为有一定帮助，16名（4.43%）学生认为没有帮助或不清楚有无帮助。

考虑到BE平分∠DBC和旋转的性质,由∠ABD=∠ADB=∠DBC可得BG平分∠FBD.又GH∥BF,所以∠GBH=∠HGB，且∠GHD=∠GDH,则HB=HG=DG=x,即DH=14-x.

从而得CE2+DE2=BD2,

即x2+(6-3x)2=(2x)2,

解之得(舍)，或

故

评注 本题是借助于勾股定理找相等关系列方程的,也可依据其他知识源(如比例式、面积相等、相等线段等)列方程(组)求解.

例3 (2015年重庆中考题)如图3,在矩形ABCD中,连结BD,∠DBC的角平分线BE交DC于点E.现把∆BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的∆BCE为∆BC′E′，当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时,设交点分别为F,G.若∆BFD为等腰三角形,则线段DG长为______.

“线”—点对点即连成线，实现一对一的点燃，具体形式是“名师工作坊”。在图1中，以导师O为中心发力点，联系带动周边若干学校A、B、C、D、E的骨干教师，最大限度地激发骨干教师的主动性，提升其教学能力。

1.提供均等创业政策，公平竞争。国家在大学生创业政策制定方面要实现均等化，提供给大学生平等的创业机会，传递给大学生一种公平竞争的理念，杜绝出现不平衡的资源供给现象，要达到资源共享，一起发展的创业目标。对城乡资源供给均等化，对乡村创业政策更要适当的放宽，提供大学生公平竞争的机会。鼓励大学生以竞争方式获取资源的同时要提倡资源共享，共同进步。

思路剖析 在∆BDF中,由于BD>BF且BD>DF,所以若∆BDF为等腰三角形,则必有BF=DF.若用列方程(组)求DG的长,则需构造含DG的等式,而比例式就是线段类等式常见来源之一.

为此,过点G作GH∥BF交BD于点H,则显然在此比例式中,只知DB=14,若设DG=x,则需求出或用含x的代数式表示DF、DH,才能列出关于x的方程,求出x的值.

设CE=x,则BD=2x，且DE=6-2x,故欲求DE,只需找出BD、DE和CE三者间所满足的数量关系式即可.

在Rt∆ABF中,由勾股定理，得

所以

且∠HEF=30°,则∠FEC=90°,

至此,关于x的方程终于水落石出,解之便可得

2.运用两点间的距离公式求解

例4 (2017年重庆中考题)如图4,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,连结DF,交AC于点G,将∆EFG沿EF翻折,得到∆EFM,连结DM,交EF于点N,若点F是AB的中点,则∆EMN的周长是______.

思路剖析 本题注意到正方形的背景,不妨以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(如图4),下面只需求出M、E、F三点的坐标,即可运用两点之间的距离公式求出各边长了.

要求点E的坐标,自然想到过E点作EP⊥x轴,分别交AB、CD于点P、Q,则EP=AP=DQ,进而可证∆EPF≌∆DQE,得EF=DE,且PF=QE=CQ=BP=1,所以点E的坐标为(3,3).

为此,过点G作GH⊥x轴于点H.

求M点的坐标,关键要抓住两点,一是过M点作MK⊥x轴于点K,目标转化为求MK与FK之长;二是M点是由点G沿EF翻折而得,自然想到利用点G的坐标来求M点的坐标.

历史上，吕、范交恶也是著名的历史事件。范仲淹的几次被贬，确实大多与吕夷简有关，富弼作为范仲淹的坚决支持者，与吕夷简的矛盾由来已久。在此剑拔弩张之时，当着仁宗之面，作为至亲，也为了维护朝廷大局，化解眼前如此紧张的局面，晏殊出面打圆场，表示吕夷简不是有意，恐怕真是失误。对此，富弼情急之下，竟然说出“殊奸邪，党夷简以欺陛下”。面临国家大事之成败甚至涉及个人的生死，富弼情急之下口出此极端之言，虽然情有可原，但对于晏殊，如此无礼的指责也显然不公。

Numerical Simulation on Wind Loads on Ship with Different Container Configurations

由

得

所以

2.1.3 心肺复苏致心脏破裂 男性3名，女性1名；年龄62.3±22.4岁；心脏质量382.5±43.5 g；心包积液量41.3±30.1 mL，均无凝血块，心包积液量明显小于急性心梗致心脏破裂和主动脉夹层破裂致心包填塞组（P＜0.01，表1，表4，图1）。

又由ED=EF和ED⊥EF，知∠EFD=45°,所以∠GFM=90°，且GF=FM.

进而得∆GFH≌∆FMK,

则GH=FK、FH=MK,

所以M点的坐标为

易知点F、D的坐标分别为(2,0)、(0,4),结合点E、M的坐标,根据待定系数法易求直线EF、DM的解析式分别为

y=3x-6和y=-x+4,

食物治疗：如果发生氮质血症，就有必要限制食物中的蛋白质含量。选择低蛋白食物和增加B族维生素的含量也有助于降低肾衰竭的程度。如果发生高磷血症，则开始喂养磷限制饮食和使用肠道磷结合物，如1，25-二羟基胆碱能钙化。

联立解得点N的坐标为

译文中suit the need以及grasp some skills显然是中文式表达，英文中并无相似表达方法，并且suit与grasp字面翻译的确分别为适应，掌握。但在英语中，suit所表达的适应主要为衣服合体，而grasp skills为错误表达，因为掌握技能通常使用learn skills。所以错误译文为学生受到汉语语义的影响，使用了错误的单词。正确译文应该为In order to meet the need for future work,studentsmust learn someskills.

由两点之间的距离公式，得

故∆EMN的周长为