在几何问题中，掌握基本图形往往能快速获得解题思路.本文以平行线、角平分线、等腰三角形“三兄弟”结合为例,介绍解决此类问题的方法．

其中：R表示航空技术领域知识集；r表示航空制造业领域知识的知识特征要素；n表示航空制造业领域知识的种类；j表示航空制造业领域知识的特征数量。

引例 如图1，已知∆ABC,射线AD是三角形外角∠EAC的角平分线,且AD∥BC,求证:∆ABC是等腰三角形．

变式1 将射线AD是三角形外角∠EAC的角平分线与∆ABC是等腰三角形调换位置,结论还成立么?

变式2 将AD∥BC与∆ABC是等腰三角形调换为位置,结论还成立么?

分析 本题应用平行线的性质,得到内错角与同位角相等,进而利用等量代换较易证明．变式1，变式2同样可以利用平行线的性质与判定,转移角的数量关系,得到证明．

于是我们可以得知，这三个条件：① 角平分线② 平行线③ 等腰三角形中只要知道其中两个条件,就可以推出第三个条件.多么完美的一组条件！

分析 探究1、2属于同一类问题,都是在平行线与角平分线的作用下得到等腰∆BDI与等腰∆CEI,进而发现BD+CE=DE(BD-CE=DE)的数量关系;探究3是开放性问题上升到图形的特殊性.根据“邻补角的角平分线互相垂直”基本结论可以知道,要让四边形AECF为矩形,只需让四边形AECF为平行四边形.又根据平行线与角平分线的作用,得到等腰∆COE与等腰∆COF,进而知道O为ED中点,故只要O为线段AC中点即可．

探究1 如图2,已知∆ABC,若BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB且经过点I的直线DE∥BC,则线段BD、DE、CE之间的数量关系是什么?

探究2 如图3,已知∆ABC,若BI、CI分别平分∠ABC、∠ACM且经过点I的直线DE∥BC,则线段BD、DE、CE之间的数量关系是什么?

探究3 如图4,已知∆ABC,若CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD且直线EF∥BC,交边AB于M,交边AC于O,则O运动到线段AC的何处时,四边形AECF为矩形?

有了此基本图形作为背景,可以探究以下问题:

我国自二十世纪90年代成立第一批医学伦理委员会，经过近30年的不断完善，医学伦理委员会从数量到质量，从政策层面、理念层面到操作层面均取得了突破性进展。随着医药科技的迅猛发展，国家对伦理委员会的伦理审查监管日益严格，加上受国际化伦理审查制度的冲击等多方环境变化，我国现行的伦理审查程序逐步暴露出了诸多问题[2]。

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

例1 (2017年北京中考题)如图5,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连结BE.

谢忠宝，江西应用科技学院学生；郭明德，江西应用科技学院博士；杨国荣，江西应用科技学院副教授；郑昌保，江西应用科技学院团委书记；于尊厂，江西应用科技学院教师；张炉城，江西应用科技学院学生。

(1)求证:四边形ABEF是菱形；

∴

(2)连结AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.

证明 (1)∵AD=2BC,E为AD的中点,

∴DE=BC.∵AD∥BC,

∴四边形BCDE为平行四边形.

∵∠ABD=90°,AE=DE，

∴BE=DE,∴四边形BCDE为菱形.

(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,

∴AB=BC=1.

2、炉后0米层接地网测量选点分别为：A、#1炉零米定排扩容器立柱处 B、#2炉送风机电动葫芦电源立柱处

第二，提高收入水平是提升居民主观社会地位评价的重要途径，从而要优化收入分配结构，打破户籍限制、社会关系等门槛对收入分配的影响。同时，居民的社会地位评价还会受到物质资本、性格等因素的影响，从而在提高个人教育水平的同时要引导居民树立积极健康的心态。

西南方向传来呼呼的啸叫声，杨小水回头一看，妈呀，西南方向的空中立着十几丈高的水头，乌黑如石山，和着呜呜的风声，向这边卷过来。远远的，还可以看到前边庄子的房子像火柴盒一样先后倒下。天啊，肯定是上边水库垮了！杆子可着嗓子吆喝了一句，都抓紧绳子……

∵AD=2BC=2,

∴

∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.

在Rt∆ACD中,

评注 本题考查的知识点较多,但都是对基本图形的理解认知.第1问主要利用直角三角形斜边中点的性质和菱形的判定;第2问的切入点有点难度,其实只要抓住了题中的平分条件,加上题干中的平行条件，就可以得出基本图形——等腰三角形,达到转移边角解决问题的目的．

例2 (2014年北京中考题)如图6,在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.

∵AE是角平分线，

会上，汪洪还给肥料染色“算了账”：一亩地20cm耕层土壤质量一般为150,000 kg；肥料染色按1吨肥料加入染色剂按照0.5-3kg计算；一亩地一次施肥50kg，染料用量假设按照一次0.025-0.15kg计算，相当于一次带入耕层土壤中染料浓度为0.15-1mg/K。对于“算账结果”，汪洪表示，计算结果相对较低，但需要考虑长期累积效应，而染色剂用量过高或危害性较强都需要特别考虑。

(2)若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.

证明 (1)由平行四边形ABCD，得

AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.

笔者曾先后在2个班级进行基于BOPPPS教学模式的课堂设计实践，结果表明在讲解药物不良反应章节时，应用该模式能提高学生主动学习的积极性，教学效果有效提高。传统教学模式以教师讲授为主，学生被动接受课堂知识，照本宣科和死记硬背对提升学生的综合能力无益。有研究显示，BOPPPS教学法在调动学生主观能动性、提高综合分析能力及理论考试成绩等方面均明显优于传统教学法[6]。BOPPPS为临床药理学的课程教学提供了一种简洁、有效的设计模式。但是在实践中如何合理地运用，需要教师不断摸索和思考。

∴∠DAE=∠BAE,

∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.

同理AB=AF，∴AF=BE，

∴四边形ABEF是平行四边形.

∵AB=BE,∴四边形ABEF是菱形.

(2)作PH⊥AD于H.

由菱形ABEF，且∠ABC=60°,AB=4,

今年以来，忻州分公司按照“大干100天”的销售目标计划，以“管好客户、做好决策、带好队伍”为主基调，充分调动全员积极性，奏响直分销“三部曲”。截至9月底，直分销同比增幅94%，增幅全省排名第一，连续多个月保持增长势头，成效显著。

∴AB=AF=4,∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，

∴

(1)求证:四边形BCDE为菱形.

∴

评注 求解本题第(1)问需要充分利用角平分线+平行→等腰三角形这一基本图形,第(2)问是在这一特殊图形基础之上，利用解三角形相关知识．若在例1第2问的基础上,求证ABCE是菱形,就与2014年的中考题不谋而合了．

例3 (2015年北京中考题)如图7，在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连结AF，BF.

有了以上知识的铺垫,就能解决一类中考问题.

(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.

1288 Research focus of critical care medicine: a study based on Web of Science retrieve and bibliometrics

证明 (1)由平行四边形ABCD，得

DC∥AB，即DF∥BE.

∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形.

∵DE⊥AB,即∠DEB=90°，

∴四边形DEBF为矩形.

A：婆婆也会帮我带孩子，因为每年回去也主要是为了看婆婆。我和我婆婆相处很好，她就把我当作女儿。她就是我的另一个妈妈，我们会一起聊家常，一起去逛街，我也会和她一起去见她的朋友。

(2)∵四边形DEBF为矩形，

∴∠BFC=90°.

∵CF=3,BF=4,

∴

∴AD=BC=5,∴AD=DF=5,

污水在调节池内进行长时间停留，由于生产废水时，日变化且水质也有较大波动性，该问题不仅引起设备运行不稳定，还会对后续生物处理单元造成较大冲击负荷，导致生物无法适应水质的波动而降低处理效果。为了降低污水站事故率，因此，通过调节池进行调节，确保后续处理单元安全、稳定运行。调节池出水通过提升泵进入气浮设备。调节池内设置液位控制仪，低液位保护，高液位启动。气浮设备可进一步去除水中的细小悬浮物和分散油滴。

∴∠DAF=∠DFA.

∵∠DFA=∠FAB,

一是地区之间的环境诉讼数量不均衡，虽然采取立案登记制度，但是立案难的现象在司法实践中仍然存在。尽管在最高人民法院的干预下，2015年腾格里沙漠环境污染公益诉讼案被立案，但是涉及一些群体性事件的公益诉讼案件，还是难以立案。这说明各地的司法尺度还不一致。2017年3月，最高人民法院发布环境公益诉讼典型案例，对人民法院依法审理环境公益诉讼案件提供一定的示范和指导，希望促进案件裁判尺度的统一，进一步提升环境资源司法水平，现在看来，作用有待提高。

∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.

评注 本题第(1)问考查矩形的判定,相对容易；第(2)问由数量关系引出等腰三角形,进而结合平行条件推出角平分线结论.若将DF=5，与AF平分∠DAB互换位置,则又变成了同例1、2一样的基本图形了．

通过以上的分析可知,平行线、角平分线、等腰三角形是几何学习中经常出现的基本图形,要掌握好它们各自的性质及相互的转化关系,学会从复杂图形中分辨出来,这才是解决几何综合问题的有效策略．