近期，笔者参加了区教改组的教学研讨活动.在分析学情、选定课题后,整合素材,设计教案,又在试讲之后进行重新修改，努力达到强化和提升学生的核心素养与学习能力的目标.现将本节课修改前后的教案呈现如下,以作抛砖引玉.

一、设计方案初稿

①以题带知识点,复习一元二次方程根与系数的关系;

②会求对称式以及非对称式的值,体现数学的化归思想;

③对含参数的一元二次方程有实数根的判别;

④一元二次方程整数根的问题;

师：同学们对这个答案有什么疑问吗？

⑤课堂总结与提升.

设计意图 以板块设计为模式,以问题引领为导向,充分发挥学生学习的主体性.通过对一元二次方程典型例题的分析,回顾一元二次方程的知识点,提炼数学思想和方法,提升学生基本技能,为后续二次函数的学习起到承上启下的作用.

二、方案试讲后的改进

1.因势利导，避免繁琐计算

选取例题引导学生开展讨论：

深度学习是一种基于人工神经网络的机器学习算法，通过一种深层神经网络逐层提取数据的底层到高层特征，获取数据的分布式特征表示。近年来，深度学习模型在图像识别与分类领域展现出了强大的学习能力，在Image Net数据集上一种深度神经网络将错误率从之前的26%降到了15%[4]。随后许多学者在不同的应用背景下提出了多种深度学习模型如栈式消噪自动编码机[5]、深度置信网络和卷积神经网络等。卷积神经网络作为一种基于局部感受野视觉原理的深度学习框架，图像可直接作为网络的输入，是一种端到端的网络模型。目前卷积神经网络在图像识别领域取得了广泛的应用，如人脸识别[6]、行为识别[7]、医学图像识别[8]等。

在所选取的10个流域中应用PWMs 方法对其进行流域水文尺度效应分析。PWMs方法指出若式(8)成立，且尺度指数H独立于统计矩，那么该水文参数符合单元尺度。若式(8)成立，尺度指数随着统计矩变化，则符合多元尺度。ln(Ai)和ln(βi)呈线性关系如图3所示，图3和表2表明，对于所有的统计矩，式(8)均成立且统计上显著(P<0.05)，并且所有的线性模型R2>0.90。图4中表明尺度因子不随着统计矩发生变化。因此该PWMs结果表明在所选取的流域中，年平均流量呈单元尺度性，且尺度因子为1.171。

例题 已知α、β是方程x2+3x-99=0的两实数根，且α<β,请你求出下列各式的值:

(3)|α-β|;(4)α2+2α-β;

师:说到一元二次方程,同学们很容易想到方程的根，如果已知α、β是方程x2+3x-1=0的两实数根,则α+β的值是多少?为什么?

生1:由根与系数的关系，得

师:αβ的值呢?

全体学生:

物联网技术最大的特点在于将各式信息资源的融合，这对于铁路运输工作的开展具有革命性的发展意义。信息化的方式不仅可有效的保证货主在货物装卸过程中对自身货物的监控，还可根据实际的货物运输情况进行仓库以及人员的调动安排。

师:请求出下列式子的值:

生

师:这是个对称式,先通分再利用根与系数的关系，可以求得.若α、β是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,我们可以提炼出公式现在提一个有挑战性的问题：|α-β|的结构也是对称式,它的值是什么呢?

生3:∵(α-β)2=(α+β)2-4αβ=13,

国家电网于2015年提出了全球能源互联网发展构想,认为全球能源互联网以智能电网、特高压、清洁能源、全球视野为基本要素,将由跨国跨洲骨干网架和涵盖各国各电压等级电网的国家泛在智能电网组成,经过洲内互联、跨洲互联、全球互联3个阶段,各层级电网协调发展,坚持清洁发展和全球配置2个基本原则,具备网架坚强、广泛互联、高度智能、开放互动4个重要特征,实现能源传输、资源配置、市场交易、产业带动和公共服务5个主要功能[2]。

注 良好的开端是成功的一半.改进后的教学设计,通过几道题的教学,让学生透彻理解问题的本质，这正是李善良博士倡导的教学“减法”，减少了热身训练的题目数量，重视对一般结论的提炼,对数学思想方法的概括和总结.

∴原式=1-3α+2α-β

师:非常精彩！让我们记住这个结论，它在今后学习中还会用到.

生3:α+β、αβ的值都知道了,乘法公式时学过差的平方与和的平方之间的关系.

师:非常好!|α-β|虽然是对称式,但需要对(α-β)2作巧妙变形.我们将此推广到一般情形：若α、β是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,则

师:我们还有其他的方法求|α-β|的值吗?

生4:利用求根公式,在Δ≥0时,

∴

师:你是怎么想到这样变形的?

师:下面我们讨论如何求非对称式α2+2α-β的值?

在与梁兆贤的近距离交谈中，我们感受到了印刷业以及市场对于人才技术和创新的迫切需要，以及具备学习能力的重要性。在他看来，要通过人才队伍的建设，提高企业管理水平，使印刷行业加快转型升级，推动中国制造2025在印刷领域的前进。

生5:∵α是方程的实数根,

∴α2+3α-1=0,α2+2α=1-α.

原式=1-α-β=1-(α+β)

舟曲泥石流发生的原因是多方面的、复杂的，但是不可否认，生态环境的破坏是重要原因之一。舟曲县农民通过大规模开垦坡地来增加土地面积，40°以下的坡地已被开垦完毕，山体植被遭到严重破坏，大量树木被砍伐，水源涵养能力差，都加剧了泥石流灾害程度。

=1(-3)=4.

生6:利用根的定义，∵α是方程的实数根,∴α2+3α-1=0,α2=1-3α.

冬林坐在倒下的枯木上，说：“山中的空气新鲜、纯净。树木、花草、鸟兽，哪怕是一只纺织娘，都是我最亲密的朋友。现在我一天不上山就不舒服。上山了，赏花开心，听鸟悦耳，见绿养眼，真正是人间天堂，什么烦恼都没有了。有人以为我像个野人似的在荒山里苦熬，我心中窃喜：试问作家中谁能像我这样独来独往、充实自在呢？”

目前基于脚部惯性传感数据进行人员运动速度识别的方法大多采用直接积分的算法对慢速行走的行人进行速度估计。但是当行人运动速度增加至快速行走或者奔跑时,继续使用该方法进行速度估计会出现显著偏差。所以本文提出了一种基于脚部惯性传感数据、利用单步统计特征对行人运动速度进行估计的方法。

=1-α-β=1(-3)=4.

师:同学们的表现都非常精彩,解题中体现了化归的思想,转化的思想.

根据Q10试验方法、泡菜产品特性和流通环境差异性，优化设计了储存温度和产品流通货架期测算方式。设置4，25，35，45 ℃ 4个温度梯度，以各包装材质产品以4 ℃储存样为基准样，每隔15天对各包装材质各温度梯度储存产品从色、香、味以及综合滋味等维度进行评价。并根据实践经验，将各储存温度条件下不同包装材质产品货架期进行线型回归分析，并以综合滋味3分为货架期的临界值，见表1。

由ADF检验可知，残差序列为平稳序列，说明投资者情绪波动与股价波动存在协整关系，即在长期内具有稳定的均衡关系。

∴

2.前后贯通，引导深入学习

复习课不是知识的简单重复,也不可以依赖大量练习去完成.而应把复习课作为一个新的起点,引导学生进行深入学习，在教学过程中发现问题并去解决问题.

师:请同学们思考问题：已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2+2=0的两根为x1、x2,求x12+x22的最值.

生8:先对x12+x22化简整理.

由题意可知, x1+x2=-2(m+1), x1x2=m2+2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(m+1)2-2(m2+2)=2m2+8m.

师：接下来怎么做?

生9:配方.原式=2(m2+4m)=2(m2+4m+4-4)=2 (m+2)2-8.

因为(m+2)2≥0,所以当m=-2时,2(m+2)2-8的最小值是-8.

从庐山西海的从业人员的素质上来看，整体水平都不太高。大部分人员缺少专业培训，工作起来比较随意，服务意识没有做到规范化，使得景区的服务质量偏低，难以满足不同游客的需要。

生10:有问题，一元二次方程有实数根的前提是Δ≥0,生9没有考虑Δ.

师:说得好！在Δ≥0的前提下,一元二次方程才有实数根.那么上述结论对吗?

另外，在汉语中是谓语动词如以下的“顺应”，以谓语出现，但是在英语中却可以翻译成状语或就是状语，这类情况也要善于识别。因为汉语的表达有时是多样性的，不是唯一性，而英语变化性较小。

生11:不对,因为由Δ≥0得不合题意.

师:那么如何求x12+x22的最值呢?

(这个问题对大多数学生都具有挑战性)

师:我们一起看PPT,对于二次函数y=2(m+2)2-8,说说它的性质.

生12:它的图象是一条开口向上抛物线，对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2,-8).在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.当x=-2时,ymin=-8(如图1).

师:当时,它的图象不是一条完整的抛物线,而是其中的一段曲线(如图1),请思考一下,你有什么发现?

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生13:这段曲线在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,所以在这条曲线上有最低点,从而当时,x12+x22的最小值是

教师的任务就是让学生张扬个性，展现智慧.教学设计经过改进后,增加了合作探究的问题,使一元二次方程顺利衔接过渡到二次函数.通过对已学知识的复习,使学生加深了对知识的理解，将方程问题与函数知识一线串.

总之，教师的核心作用是“给学生创设一个有利于主动建构理解数学、充分发展的环境”,复习课是数学教学中的重要环节,最忌讳的就是炒冷饭.这就需要教师巧妙设计问题,将新知旧识串联起来,展示出复习课的生长性，使有限的复习课收到最大的效果.