0 引 言

传染病每次到来都会对人类的健康造成危害，许多传染病的发病与季节有关，如流感，风疹等疾病。在发病期间，染病者与潜伏者的输入，会引起疾病的蔓延，人们会采取接种疫苗、隔离和治疗等常见手段进行预防疾病的爆发和流行。考虑到疾病季节性的周期变化的关系，许多学者借助非自治传染病模型从理论上来研究防控方法对疾病控制作用，预测传染病的传播规律[1-3]。如下面具有双线性发生率的非自治SEIR传染病模型解的正性、疾病的持久性，周期解的存在性及稳定性研究疾病的发展规律[4-5]。

 

传染病主要是易感者与染病者有效接触引起疾病的传播，疾病的发生率在描述疾病的传播过程有着重要作用，常见的发生率有双线性发生率βSI，标准型发生率βSI/N[6]。随着深入的研究发现，很多传染病的传播机制并没有完全为人所知，发生率依赖于易感者和感染者相互作用的非线性形式f(S)g(I)，f(S,I,N)更符合实际，用其建立的传染病模型，从理论上能够揭示传染病发展规律[7-10]。但在研究过程中发现，一般形式非线性发生率在应用中是比较困难的，将一般发生率的表述成为较为近似的具体函数式，能够很好模拟疾病传播规律。如下面的具有常数输入及非线性发生率的SIQR传染病模型[11]

“数学益智游戏”校本课程的教学实施不能仅限于本校，还要将活动的影响力拓展至本区、本市甚至本省的各小学，充分发挥小数界教师与教研员的力量。我们在省教研员的牵线下与杭州采荷小学合作研究“数学益智游戏”课程，本校的郭老师执教了益智游戏系列内容中的“罗马数字”，受到专家和听课教师的好评。结合专家提出的宝贵意见，现场进行了热烈探讨，我们组的每位成员都获益颇丰。

我院护理人员参与护理操作技能的培训覆盖率达到100%。考核合格72例次，占94.7%，考核不合格4例次，占5.3%。与2010年不合格12例次比较，合格率提高10.4%。2011年患者平均满意率达98.6%，比2010年提高2.6%。

总而言之，把数学建模的思想方法融入到高职数学教学中是创新时代对人才培养的要求，是社会发展的必然结果，这是必要的，也是可行的。通过实践，数学建模思想的应用更有利于学生学习和掌握高职数学的基本知识，激发学生对数学的学习兴趣，而且进一步培养了学生的创新意识和创新能力。随着数学建模对高职数学教学的意义逐渐深入研究，可以看出数学建模思想在提高职高的学生数学素质起到了一定的推动作用。

 

根据疾病的传播特征，如传染力强的疾病或是易感人群比较密集场所，还有其它不同形式的非线性发生率，形如βSpIq，饱和发生率βSI/(S+αI)，βSI/(1+αIq)，βSI(1+αSp)非线性发生率，用其建立传染病模型SIQR，SEIR，SEIQR也取得阶段性的研究成果[12-17]。

本文在现有工作的基础上，考虑具有季节性发病的传染病，用非线性发生率β(t)S(t)I2(t)描述疾病传播规律，建立一类具有非线性发生率的非自治的SEIQR模型，通过对模型的动力学性质的研究，找到疫苗接种和隔离方法对疾病的防控阈值。并将研究结果用于手足口传染病预防中，借助数值模拟预测防控措施对疾病流行的影响，给出疾病控制方法可行性建议。

考虑了接种对疾病的预防、隔离对疾病控制的影响，潜伏者和患病者均有人口输入，建立了如下非自治SEIQR传染病模型

其二，进一步完善以保障和激励创新驱动发展为宗旨的专利政策体系。应设置多样化的专利奖励方式，加大资金奖励和政策优惠力度，对专利贫瘠的某些战略性新兴产业和企业进行定向帮扶；建立以专利为主要内容的激励创新驱动的绩效评价体系；完善专利评价政策，把高质量专利的产出与运用作为项目投资、科研立项、绩效奖励、职称评定、科技创新公共服务平台建设和各类科技园区申报与认定的重要评价指标。

 

(1)

其中：S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)分别表示t时刻易感者类、潜伏者类、染病者类、隔离者类和移出者类的数量；A(t)表示t时刻总移民输入数量；q(t)为t时刻潜伏者输入数量的比例；p(t)为t时刻染病者输入数量的比例(0≤p(t)+q(t)≤1)；N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+Q(t)+R(t)为总人口的数量；β(t)表示t时刻接触率(β(0)>0)；μ(t)表示t时刻人口平均死亡率；ε(t)ε(t)表示t时刻潜伏者到染病者的转移率；δ(t)表示t时刻隔离率系数；d1(t)表示t时刻染病者因病死亡率；d2(t)表示t时刻隔离者因病死亡率；γ(t)表示t时刻染病者的治愈率；k(t)表示t时刻隔离者的恢复率；m(t)表示t时刻对易感者的接种率。

假设模型(1)中的各参数在R上均为正的连续的ω周期函数；模型(1)任意解(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))的初始值(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0))满足

S(0)>0，E(0)>0，I(0)>0，Q(0)>0，R(0)>0

(2)

同时定义如下符号：

 

1 模型解的正性

定理1 模型(1)满足初始条件(2)的解为正解。

证明：由模型(1)的第一个方程知，当t>0时，有S(t)>0。否则，存在t0>0，使得S(t0)=0，取 T0=inf{t0>0|S(t0)=0}，S(T0)=0，并且S′(T0)<0。由式(1)知，S′(T0)=(1-p(T0)-q(T0))A(T0)>0，矛盾。故S(t)>0。

由模型(1)的第3个方程，当t>0时，有I(t)>0。否则，存在t1>0，使得I(t1)=0，取T1=inf{t1>0|I(t1)=0}，I(T1)=0， I′(T1)=p(T1)A(T1)+ε(T1)E(T1)<0。由假设知，p(T1)A(T1)>0，ε(T1)>0，从而有E(T1)<0。故存在0<t2<T1，使得E(t2)=0，取T2=inf{t2>0|E(t2)=0}，E(T2)=0，E′(T2)<0。由于S(t)>0，且I(T2)>0，E′(T2)=q(T2)A(T2)+β(T2)g(S(T2))I(T2)>0，矛盾。所以I(t)>0。

由模型(1)的第2个方程知，E′(t)≥-(μ(t)+ε(t))E(t)，再由比较定理可得，对任意的t，有E(t)>0。同理可求得Q(t),R(t)非负。证毕。

由模型(1)可得

N′(t)≤A(t)-μ(t)N(t)

可得到模型(1)的可行域为

Ω={(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))|0<S(t)+

E(t)+I(t)+Q(t)+R(t)≤(A/μ)M}

D+|I*(t)-I(t)|

2 模型的一致持久性

定理2 模型(1)在Ω上是一致持久的。

(ε)M|E*(t)-E(t)|-(μ+d1+δ+γ)L|I*(t)-I(t)|

由模型(1)的第一个方程可知

证明：设模型(3)的任意正解为(S(t),E(t),I(t))。由定理3知，模型(3)存在正周期解为(S*(t),E*(t),I*(t))。

 

 

及比较原理可得

 

 

可得

 

再由模型(1)的第二个方程知

E′(t)≥q(t)A(t)-(μ(t)+ε(t))E(t)

同理有

 

由模型(1)的第5个方程可知

I′(t)≥p(t)A(t)+ε(t)v2-(μ(t)+d1(t)+

δ(t)+γ(t))I(t)

同理有

 

再由模型(1)第4个方程可得

Q′(t)≥δ(t)v3-(μ(t)+d2(t)+k(t))Q(t)

同理有

 

由模型(1)第3个方程可得

2014年9月，笔者参加了全国十四城市体育优质课竞赛，优质课是日常教学的升华，日常教学为优质课的展现奠定了基础，只有打好日常教学的基础，优质课才能完美展示。经历了这次优质课竞赛后，对于今后如何将瑜伽课更好地呈现在日常教学中，如何激活瑜伽课堂氛围，激发更多学生的兴趣爱好，笔者有了更多的反思与改进。

R′(t)≥m(t)v1+γ(t)v3+k(t)v4-μR(t)

同理可得

YUE Changsheng, Wang Sheng, XIA Chun, et al. The research progress of steel slag utilization and stabilization technology[J]. Conservation and utilization of mineral resources, 2018(6):145-150.

 

故模型(1)在Ω是一致持久的[6]。证毕。

3 周期解的存在性及稳定性

在R4中定义范数为‖X‖=max(|S|,|E|,|I|,|Q|,|R|)，X=(S,E,I,Q,R)∈R4。设模型(1)满足解存在唯一性条件，对应初值X0=(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0))的解为

确定分型面各位置的大致原则，务必保证塑件的各种性能、能更好的使塑件脱模和简化成形模具的结构，分型面同时会受到多种塑件在模具中的位置、灌注系统的制定、成件的结构性能及精度、嵌件的位置外形大小和推出的方案、模具成形的设计、排气、实施工艺等许多因素的协同作用，所以在挑选分型面时应该全面的分析和比较，通常可以根据以下几点进行筛选。

X(t,X0)=(S(t,X0),E(t,X0),I(t,X0),Q(t,X0),R(t,X0))，X(0,X0)=X0

定义位移算子，即Poincare周期映射L∶R4→R4，LX0=X(ω,X0)

其中ω是模型(1)中参数函数的周期。由映射L的定义知，其不动点就是模型(1)的周期解。

定理3 模型(1)在Ω内至少存在一个以ω为周期的正周期解。

证明：由定理1，定理2知，模型(1)的任意解在Ω内是正，且Ω是模型(1)的有界不变闭凸集，L是Ω到自身的变换，所以，LΩ⊂Ω，由解对初值的连续依赖性知，L是连续的，再由不动点定理可得，在Ω上的变换至少L存在一个不动点。因此，模型(1)至少存在一个以ω为周期的正周期解。证毕。

由于模型(1)的前三个方程与Q(t),R(t)无关，所以只需考虑模型(1)对应的子模型：

 

(3)

可得到模型(3)的可行域为

Ω′={(S(t),E(t),I(t))|0<S(t)+E(t)+I(t)≤

(A/μ)M}

同时，Ω′也是模型(3)的正向不变集。

定理4 若(μ+m)L+(β)L2>(β)M(A/μ)2，(μ+ε)L>(ε)M，(μ+d1+δ+γ)L>4(β)M(A/μ)2成立，则模型(3)有一个以ω为周期的全局渐近稳定的周期解(S*(t),E*(t),I*(t))。

不是我满脑子都是别呦呦，而是我使用满瞳太久，放大的瞳孔竟没法收缩回来，害得我泪流不止，眼肿得跟桃似的。一直到天亮，瞳孔才恢复如初。

在小学语文阅读教学过程中，如何培养小学生语文阅读兴趣，是每一名小学语文教师共同关注和关心的问题。针对以上问题，我们在实际教学中，可以从基于课外阅读激发阅读兴趣；带问阅读激发学生阅读兴趣；表演朗读激发学生语文阅读兴趣这几方面着手进行，以下结合实际教学经验，分别进行介绍。

选取Lyapunov函数

V(t)=|S*(t)-S(t)|+|E*(t)-E(t)|+

|I*(t)-I(t)|

将V(t)关于模型(3)的求右导数

D+V(t)=D+|S*(t)-S(t)|+D+|E*(t)-E(t)|+

显然Ω是模型(1)的正向不变集。

(4)

δ(t)+γ(t))(I*(t)-I(t))]≤

sign(S*(t)-S(t))[-(μ(t)+m(t))(S*(t)-S(t))-

β(t)I*2(S*(t)-S(t))-β(t)S(t)(I*(t)+

I(t))(I*(t)-I(t))]≤

-[(μ+m)L+(β)Lv32]|S*(t)-S(t)|+

(β)M2(A/μ)4·|I*(t)-I(t)|

(5)

D+|E*(t)-E(t)|=sign(E*(t)-E(t))(E*′(t)-E′(t))=

燃气冷热电分布式能源系统简称CCHP(Combined Cooling,Heating and Power)，是天然气高效利用的最佳途径，通过能源梯级利用的方式，就近满足用户冷、热、电、生活热水等各种负荷的需求。具有能效利用合理、损耗小、污染少、运行灵活、系统经济性好等特点。

sign(E*(t)-E(t))[-(μ(t)+ε(t))(E*(t)-E(t))+

β(t)I*2(S*(t)-S(t))+β(t)S(t)(I*(t)+I(t))(I*(t)-I(t))]≤

-(μ+ε)L|E*(t)-E(t)|+(β)M(A/μ)4|S*(t)-S(t)|+

(β)M2(A/μ)4·|I*(t)-I(t)|

(6)

D+|I*(t)-I(t)|=sign(I*(t)-I(t))(I*′(t)-I′(t))=

sign(I*(t)-I(t))[ε(t)(E*(t)-E(t))-(μ(t)+d1(t)+

D+|S*(t)-S(t)|=sign(S*(t)-S(t))(S*′(t)-S′(t))=

证明：在Ω上，模型(1)的解(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))有上界，只需证明其是解下界的。

(7)

将式(5)、(6)、(7)代入式(4)中，可得

项目成本控制的重点在于施工周期控制，技术工艺控制，质量控制以及管理控制等。对于使用成本控制来说，项目在投入运营之后会产生社会环保费用，维护费用和修缮费用等，以上费用内容都属于工程竣工之后的成本支出。若在操作期间过分注重减少施工成本，将会相应降低项目质量，增加项目后期维护费用。所以，工程项目的成本控制需要采用全生命周期成本控制方法，充分考虑建设项目从前期设计规划，施工建设到后期报废处理的成本控制，不仅能够注重到项目成本支出，还能够注重项目质量，这样才能实现真正意义上的项目成本控制。

通过综合比选，最终形成了一种新型的站、桥结合方案——明挖地铁站与市政高架桥同期同位分离式合建方案，如图7～8所示。

 

|S*(t)-S(t)| -[(μ+ε)L-(ε)M]|E*(t)-E(t)| -

[(μ+d1+δ+γ)L-4(A/μ)4(β)M]|I*(t)-I(t)|

本研究针对恶臭散发的第2个严重污染过程，提出履带式移动堆料机作业方式，以期达到异味气体的有效控制；同时按作业特点，分层分区分单元使用该设备，可实现最小作业面和最佳堆体高度，提高污泥填埋作业效率的同时实现恶臭的有效控制。

(8)

令

 

(β)M(A/μ)2,(μ+ε)L-(ε)M, (μ+d1+δ+γ)L-

4(β)M(A/μ)2

}

则

D+V(t)≤-αV(t)

存在T>0，当t>T，V(t)≤V(0)e-αt，从而有则模型(3)的周期解是全局渐近稳定的。证毕。

4 数值模拟

分别取模型(2)的参数为A=0.2+0.1sint，q=0.3+0.1sint，p=0.2+0.1sint，β=0.2-0.05sint，m=0.2+0.1sint，μ=0.4+0.1sint，ε=0.2+0.1sint，d1=0.45+0.1sint，δ=0.15+0.1sint，γ=0.6+0.1sint。

取初值(0.4,0.4,0.4)，由定理2及定理4知，模型(2)的周期解是全局渐近稳定的并且是持久的，模拟如图1。下面在进一步观察，若是q(t)潜伏者输入数量比例与p(t)染病者输入数量的比例有所改变，其他参数及初值不变情况下，对染病者的变化影响。选取q=0.3+0.1sint，p=0.4+0.1sint，模拟如图2。选取q=0.3+0.1sint，p=0.4+0.01sint，模拟如图3。选取q=0.1+0.1sint，p=0.4+0.1sint，模拟如图4。

对比图1与2可得：潜伏者输入相同，染病者输入比例减少时，染病者趋于更小的数值。对比图1与4可得：当易感者人口输入相等时，易感者与染病者变化不显著，但图4的潜伏者数量明显降低，故在此种情况下，应尽力消减潜伏者的输入的比例。对比图2与4可得：潜伏者移民输入比例减少，对于染病者的数量影响很小，但是易感者数量明显增加同时易感者数量也有降低。

  

图1 当q=0.3+0.1sint,p=0.2+0.1sint时，周期解的稳定性

  

图2 当q=0.3+0.1sint,p=0.4+0.1sint时，周期解的稳定性

  

图3 当q=0.3+0.1sint,p=0.4+0.01sint时，周期解的稳定性

  

图4 当q=0.1+0.1sint,p=0.4+0.1sint时，周期解的稳定性

5 模型应用

手足口病是由多种肠道病毒引起的一种儿童常见传染病，近年来，国内手足口病不断出现多发或高发状况。2008-2009年全国手足口病发病水平呈上升趋势，2009年全国手足口病发病率比2008年上升135.13%，托幼机构儿童聚集发病常有发生，手足口病的防控工作面临巨大挑战。手足口病是我国法定报告管理的丙类传染病，多流行于夏、秋季节，传染性强、隐性感染比例较大，传播速度快，短时间内易造成较大范围的流行，疫情控制难度大。近年来，手足口病在我国爆发的次数和患病人数均呈上升趋势，手足口病已成为危害我国人群健康的一种疾病[18]。统计分析发现，气候是影响手足口病蔓延的一个重要因素，每年的6-7月出现发病的高峰[19]。手足口病威胁着人类的健康，是社会共同面临的问题。如何有效的预防与控制手足口病是一项重要的社会工作。

根据国家统计局统计公报[20-21]，近年来我国人口死亡率为6.4‰～6.93‰，人口输入率为6.01‰～6.95‰。由于一年包含12个月，而疾病的高发时段为6至7月份，故选取周期为4π的正弦函数sint/2，进而可得μ(t)=0.0067+0.0002sint/2，A(t)=0.0065+0.0005sin sint/2。再推算得到ε(t)=0.0055+0.0005sint/2，d1=0.0072+0.0002sint/2，δ=0.005，γ=0.0075，m(t)=0.003。在疾病流行期间，可以检测到患病者数量，将染病者输入率选为常值取p=0.1；再根据疾病传播的季节性，潜伏者的移民输入、接触率可视为一种周期波动函数。

针对不同潜伏者输入率、接触率，讨论其对疾病发展趋势的影响。在其它参数不变的前提下，选取接触率β(t)=0.0055+0.0005sint/2，而潜伏者输入率分别取为q(t)=0.2+0.1sint/2p=0.1和q(t)=0.4+0.1sint/2，再取初值(0.3,0.25,0.2)模拟图见图5、图6。如选取潜伏者输入率为q(t)=0.4+0.1sint/2，而接触率分别取β(t)=0.2+0.01sint/2和β(t)=0.2+0.1sint/2，再取初始值(0.1,0.15,0.2)，参数选取见表1，模拟图见如图7、图8。

  

图5 当q=0.2+0.1sint/2,p=0.1时，周期解的稳定性

  

图6 当q=0.4+0.1sint/2,p=0.1时，周期解的稳定性

 

表1 参数选取对疾病的影响

  

参数p(t)参数β(t)，q(t)参数q(t)，β(t)图像序号图像表现p=01β=00055+00005sint/2q=04+01sint/2q=02+01sint/2图5q=04+01sint/2图6β=02+001sint/2图7β=02+01sint/2图8潜伏者增加会引起染病者人数减少接触率增大会引起潜伏人数增加

  

图7 当β=0.2+0.01sint/2,p=0.1时，周期解的稳定性

  

图8 当β=0.2+0.1sint/2,p=0.1时，周期解的稳定性

由于选取的各系数较小，并有出现明显的波动形态。但是对比图5和6可以发现：当潜伏者输入波动降低时，易感者人群数增加，潜伏者人群和染病者人群都减少，有利于疾病流行的控制。

对比图7和8可以发现：虽然最后易感者、潜伏者和患病者最终趋近的数值相同，但是图8在趋近的过程中波动较为明显，由于接触率的增加会蔓延到染病者的增加，最终会导致疾病的流行，不利于疾病的控制。

在手足口病发病期间，为防止病情的进一步发展，应减少重症病例的出现；加强检查，降低由潜伏者向患病者的转移率；加强疫情监测和疫情报告工作，及时发现病例并采取消毒隔离等防控措施；开展针对性的大众健康教育活动，提高防病意识，让群众掌握并落实相关的预防控制措施，增强基层医疗单位对手足口病的诊断和救治能力，加强对聚集场所的卫生管理，防止聚集性病例和爆发疫情的发生。

参 考 文 献:

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