端羟基聚丁二烯(HTPB)推进剂是一种高填充比的颗粒增强聚合物基复合材料，其宏观力学行为不仅取决于材料的组分，而且依赖于组分之间的细观结构[1-2]。当加载应力较小时，材料表现出基体的黏弹性特征，而当应力较高时，受颗粒“脱湿”以及基体内微裂纹和空洞等微损伤的影响，材料又表现出非线性的特征。

为了描述材料的黏弹性损伤行为，众多学者从宏观和细观的角度出发，建立了不同的本构模型。Schapery等[3-4]利用弹性-黏弹性对应原理，建立了一个横观各向同性损伤的黏弹性本构模型。Ozupek等[5]选取空洞体积分数为损伤内部变量，并引进软化函数和循环加载函数，建立了一个可以反映围压效应和Mullins效应的黏弹性各向同性损伤模型。Jung等[6-7]在Simo黏弹性本构方程的基础上，引入两个标量损伤内变量，并基于黏弹性颗粒脱湿准则，建立了一个三维各向同性损伤本构模型。Abdel-Tawab等[8]直接从不可热力学出发，建立了完整的黏弹性损伤本构模型。该模型表明，通过有效应力引入损伤是较合理的。上述模型是从宏观角度建立的，由于不涉及材料损伤的具体细节，通常具有较高的计算效率，并且由于存在可调整的待定参数，模型往往具有良好的预测精度。另一方面，为了研究组分性能对材料宏观行为的影响，许多学者又建立了不同的细观本构模型。对于高刚度颗粒增强聚合物基材料，如复合固体推进剂，颗粒与基体之间的脱湿以及脱湿空洞的生长和汇合是主要的细观损伤机制[2]。据此，Chen等[9]、Togho等[10]、Xu等[1]和Hur等[11]将脱湿的颗粒等效为空洞，将材料的损伤视为空洞替换粘结颗粒的过程，由此建立了不同形式的脱湿损伤本构模型。但在实际加载中，如低应力三轴度的情形，颗粒并非完全脱湿，在界面完好的方向仍具有承载能力。因此直接用空洞代替部分脱湿的颗粒，难以反映材料损伤时的各向异性特征。为此，Zhou等[12]和彭威等[13]从另一个观察尺度出发，将复合固体推进剂的损伤视为匀质材料中微裂纹的扩展过程，并采用弹性应力强度因子，建立了材料的微裂纹损伤本构模型。然而，对于黏弹性材料，采用应力强度因子作为裂纹扩展的判据并不合适，据此建立的模型难以反映材料的蠕变损伤特征。

本文在介观尺度上，将复合固体推进剂的损伤视为初始(缺陷)微裂纹的扩展过程，利用微裂纹均匀化理论及其动态扩展模型，建立了一个宏细观相结合且能够反映材料各向异性损伤和蠕变损伤特征的黏弹性损伤本构模型。数值结果表明，文中建立的模型合理有效。

1 代表性单元与损伤曲线

图1为材料尺度，在宏观尺度L上，复合固体推进剂可视为均匀材料。在形成宏观裂纹前，除应力发白外并无其它显著的宏观变化。在细观尺度l上，材料的损伤表现为颗粒的脱湿，基体内微裂纹和空洞形成并生长。逐一描述这些微损伤较困难。另一方面，微裂纹(界面裂纹和基体微裂纹)的桥联和空洞的汇合是材料发生断裂所不可或缺的环节。因此，可以在一个较大的介观尺度lm上，将桥联的微裂纹或汇合的空洞视为等效的微裂纹，进而将材料的损伤视为等效微裂纹的扩展过程，而将脱湿等微损伤视为裂尖失效区的演化过程。

图1 材料尺度 Fig.1 Scale of material

图2 复合固体推进剂的损伤曲线 Fig.2 Damage curve of solid composite propellants

在上述等效下，复合固体推进剂典型的损伤曲线如图2所示，可以解释如下：(1)OA和AB段为材料的线性和非线性黏弹性响应段，在此区间内卸载，不产生永久变形; (2)BC段为微裂纹稳定扩展阶段，此时应力随加载平稳变化，在此阶段内卸载将产生永久变形，如沿MN卸载产生永久变形ON; (3)CD段为微裂纹失稳扩展阶段，此时应力随加载急剧下降，直至材料完全断裂。

(2)要想避免物流企业所在国家和地区的市场改革、政策变化和未知因素可能会给企业经营发展带来的风险，就必须重新做好调整物流企业所在地的商业合作模式和海外稳定货物来源基地的布局工作。

假定含缺陷的材料在初始状态的损伤内变量为零，因此修正式(4)为

宽甸县的降水有明显的年际变化趋势，如图4所示，曲线的峰值分别出现在1990、1992、1996、2004、2010年，相对谷值分别出现在1993、1997、2000、2002、2005、2008、2009、2011、2014年；年降水量最大值出现在2010年（1 765.5 mm），年降水量最小值出现在2000年（588.8 mm），两者相差1 176.7 mm；20世纪80年代末为少雨期，20世纪90年代中期为多雨期，1999年又进入另一个少雨期，2010年为另一个多雨期，2104年又进入下一个少雨期。

2 黏弹性损伤本构方程

基于能量等效原理，在一定的应力和损伤状态下，材料的等温Gibbs比自由能φ表示为[8]

(1)

式中：∶表示张量的缩并；σ为应力张量；和分别为等效平衡柔度张量和等效瞬态柔度张量，定义为 其中Q(ω)和P(ω)为引入的损伤映射张量，是损伤内变量ω的函数；r为黏性内变量的数目。

根据式(1)，材料的等效蠕变柔量为

(2)

式(2)表明，当Q(ω)≠P(ω)时，损伤对材料的平衡柔量和瞬态柔量有着不同的影响。对于复合固体推进剂，Jung等[6]开展了不同伸长比(不同损伤程度)下的应力松弛实验，结果如图3所示。可见，不同损伤程度的应力松弛曲线近乎平行分布，在纵坐标方向相差一个平移量，因此可以令Q(ω)=P(ω)。

图3 复合固体推进剂在不同伸长比λ下的松弛模量 Fig.3 Relaxation modulus of solid composite propellant at different stretch ratios λ

利用不可逆热力学耗散原理和叠加原理，不难得到如下本构方程[8]：

(3)

式中：ε为应变张量；S(t)为材料的无损柔度张量；为等效应力，定义为

3 细观损伤演化模型

为了建立完整的本构模型，还需要补充损伤内变量的演化方程。Abdel-Tawab等[8]在各向同性损伤假设下，采用Kachanov-Rabotnov的经验公式建立了损伤内变量的演化方程，并给出了损伤映射张量的具体形式。但在实际问题中，加载诱导的损伤通常是各向异性，为此需要建立更为一般的损伤演化方程和损伤映射张量。

一般而言，材料的初始缺陷(微裂纹)是空间随机分布，可以用概率密度函数表示为

3.1 损伤内变量

机械化插秧所需要的水稻秧苗需要在专业的育秧盘中进行育苗。在育苗过程中需要对泥土进行筛选和消毒，育秧盘在摆放过程中确保平整，均匀播种。上述这些要求比较细致，整个工作比较麻烦，很多农户在育秧播种过程中，经常会出现重复播种和漏播现象，导致育苗盘上的秧苗生长不均匀、长势不齐，给后期的机械化栽插和管理带来问题。

⊗ni

(4)

式中：ωi为第i个微裂纹引入的损伤内变量；ai为微裂纹的半径；ni为裂纹面的法向矢量；⊗表示并矢。

最后，运动康复训练。根据患者不同的脑梗塞症状来进行康复训练，六个月内康复训练效果最佳。通过叮嘱患者在床上康复运动时，注意摔倒、误吸、坠床等事项来提升其康复过程的顺利。配合针灸、穴位贴敷等方法进行脑梗塞患者的肌力训练，平衡功能训练，感觉功能障碍训练，逐步恢复坐、卧、翻身、行走等生理功能，并配合以精细化的手指小关节运动，提升其精细活动能力。社区卫生服务中心提供了定期的康复护理评估，给与患者更大的信心。

w(a，n)=η g(a)r(n)

(5)

式中：η为微裂纹的体密度；g(a)为微裂纹的尺寸分布函数；a为半径；r(n)为空间方向分布函数；n为裂纹的法向矢量。

微裂纹的失稳扩展阶段所占的时间较短，如果忽略该阶段，根据上文分析，材料的损伤可以视为微裂纹稳定扩展的过程。

定义损伤内变量ω为

钟江华（2013）《语言政策对少数民族语言的影响》探析了语言政策对少数民族语言维持及转换、实践、实际需要与规划等方面存在的潜在和实际影响。[3]周炜（2002）结合国外一些国家的少数民族语言政策,介绍了我国少数民族语言政策的制定、实施，描述了西藏语言政策形成和变迁的轨迹。哈正利（2009）论述了近年来我国少数民族语言文字政策的完善与创新。郭卫东（2009）探索了新疆语言政策的三个特点，以及新疆多民族社会环境中语言的双向互动。

⊗ni

(6)

式中：m为裂纹的空间取向数目；为第i个微裂纹的初始半径。

3.2 损伤映射张量

Abdel-Tawab虽然提出了损伤映射张量的概念，但并未给出其求解方法。下文基于微裂纹均匀化理论进行推导。由于涉及到时间效应，黏弹性材料的均匀化问题一般较为复杂[14-15]。当采用Q(ω)=P(ω)的假定时，对于具有相同微裂纹分布的弹性和黏弹性材料，两者具有相同的损伤映射张量，极大地简化了问题的求解。

开展不动产登记“一窗受理”平台整合对接工作的思考（黄炎等） .............................................................11-38

采用稀疏估计方法，并忽略裂纹面之间的摩擦作用，则微裂纹引入的柔度增量可以表示为[16]

这实在是一篇好散文，文辞优美，理情兼具，更难得的是，它所表达的，在当下看来毫无时代的隔膜，仍有棒喝之效。

(7)

式中：E0和ν0分别为无损材料的弹性模量和泊松比；δij为狄拉克函数；ωik为损伤内变量ω的分量。

损伤材料的等效柔度张量可以表示为

(8)

式中：S0为无损材料的柔度张量；ΔS(ω)为柔度增量，由式(7)给出。

弹性材料的曲线可以通过实验获得，而对于黏弹性材料，在未知曲线的具体形状时，不妨将条件放宽，在式(15)中取R=G，而暂不考虑∂G/∂a与∂R/∂a的关系。后文的数值结果表明，这是一个不错的近似。因此，将式(14)中的G1c用式(13)中的G1(t)替代，有

(9)

式中，为无损材料的刚度张量，表示为

(10)

式中：μ0为无损材料的剪切模量；I1为单位四阶张量，

将式(7)、式(8)和式(10)代入式(9)，整理得

(11)

式中，Hijkl=ωikδjl+ωilδjk+ωjkδil+ωjlδik。由式(11)可见，损伤映射张量P(ω)仅与材料的泊松比ν0和微裂纹的空间分布有关。

3.3 黏弹性微裂纹扩展模型

对于I型开裂，弹性材料的Griffith判据为

从微裂纹的扩展机制建立材料的损伤演化模型，需要解决两个问题，一是微裂纹的萌生或扩展判据，二是微裂纹的生长模型。前者给出了微裂纹在何种条件下扩展，后者明确了扩展速率的大小。应力强度因子作为黏弹性微裂纹的扩展判据是不合适的。这是由于根据黏弹性-弹性对应原理，蠕变加载下，裂纹尖端的应力强度因子为恒定值。如果加载初期未到达扩展的临界值，则在后续的加载中裂纹仍不会发生扩展，换而言之，材料不发生损伤，这与材料发生蠕变损伤的现象矛盾。因此，Zhou等[12]和彭威等[13]建立的损伤模型并不适用于蠕变加载的情况。对于第二个问题，较早的模型中采用了微裂纹迅速扩展到一定尺寸的假设[17-18]。为了使模型更贴合实际，近年来的脆性损伤模型中放弃了这一假设，而采用了裂纹扩展的动态模型[19]。而对于黏弹性材料，这一方法尚未见诸于报道。

(12)

式中：G1为裂尖的应变能释放率；K1为应力强度因子；E为杨氏模量；G1c为临界断裂能；σs为裂尖失效区的屈服应力；δc为临界张开位移。

对于黏弹性断裂，Williams认为式(12)仍是适用的，只需要将杨氏模量替换为松弛模量E(t)，屈服应力σs替换为银纹应力σc[20]，即

(13)

由式(13)可见，在蠕变加载下，对于一定尺寸的裂纹，虽然其应力强度因子为常数，但其应变能释放率G1(t)为时间的递增函数，这样即使在加载初期稳定的裂纹，在加载中后期也可能发生扩展，换而言之，Griffith能量准则作为裂纹的扩展判据可以描述材料的蠕变损伤行为。

进一步假定临界张开位移δc和银纹应力σc均与裂纹扩展速率无关，并且将材料的松弛模量表示为E=E0t-α，则微裂纹的扩展速率为[20]

(14)

上式即为黏弹性微裂纹动态扩展模型。根据式(14)，当G1c和σc为常数，并且材料不发生卸载时，则随加载呈递增趋势，换而言之，裂纹一旦发生扩展便不会停止，这与Liu[21]实验观测的“生长-停止-生长”的裂纹扩展现象不符。

对于准脆性材料而言，裂纹的扩展一般要经历稳定扩展和失稳扩展两个阶段，可以用图4所示的裂纹扩展阻力曲线R来说明。图中G(σ0)表示在恒定应力σ0下不同长度裂纹的应变能释放率。G0和Gm分别表示长度为a0和am的裂纹发生稳定扩展和失稳扩展时的所需的临界断裂能。

问题的设计可以联系学生的生活，从学生的兴趣、烦恼和价值观等方面入手，设计能够激发学生兴趣的问题。围绕主题，教师依据学情，可以通过设置悬念的方式进行提问，产生的信息差能激发学生的好奇心，参与话题讨论；可以将学生最有体会的话题元素融入提问中，引发学生共鸣；逆向思维，设置与学生惯有思维不符的问题内容，引发学生争论。在导入环节中，教师可以联系学生的生活，通过设计学生好奇的问题、有共鸣的问题或是有争议的问题，有意识地设计学生可以根据原有知识进行评判的问题，活跃学生的思维。

图4 裂纹扩展阻力曲线 Fig.4 Resistance curve of crack growth

当材料受力增加时，G逐渐增大。当加载应力σ增加到σ0时，尺寸为a0的裂纹达到临界扩展点。在后续的加载中，当加载应力σ<σm、并且裂纹尺寸a<am前，裂纹发生稳定扩展。在此过程的任意瞬时，裂纹的应变能释放率G与材料抵抗裂纹扩展的阻力R是平衡的，并且有∂G/∂a<∂R/∂a。当加载应力σ达到σm时，长度为am的裂纹达到失稳扩展点，此时只要σ稍许增加，裂纹即刻发生失稳扩展，并且有∂G/∂a>∂R/∂a。由此可见，裂纹发生稳定扩展的充要条件为

G=R且∂G/∂a<∂R/∂a

(15)

另一方面，根据P(ω)的定义，有

〈-1〉

(16)

图5 不同细观参数对复合固体推进剂单轴应力-应变曲线的影响 Fig.5 Effects of different micro-parameters on uniaxial stress-strain curves for solid composite propellant

式中，〈·〉表示·不小于0时取1，其余取0。

假定初始微裂纹空间均匀分布，尺寸为其统计平均值，并发生I型自相似扩展，则损伤演化方程可以表示为

⊗ni

(17)

式中，由式(16)给出。

对于初始各向同性的材料，内部微裂纹通常是随机均匀分布，并无特定的取向。因此可以采用文献[22]的方法，将整个球面空间离散为若干独立的方向，进行求解计算。

4 参数研究

利用UMAT子程序接口，将文中模型嵌入ABAQUS进行计算分析。取参数初值a0=0.05 mm，δc=0.0025 mm，σc=1 MPa，η=5 mm-3，m=192。研究单轴拉伸下参数不同取值对应力响应的影响，结果如图5所示。

1889年，在第一届国际计量大会上，大家决定把其中质量最接近原千克原器的一个复制品作为国际千克原器，存放于国际计量局。1901年，第三届国际计量大会对千克定义做出了明确规定：千克为质量单位，等于国际千克原器的质量。

图5(a)为初始微裂纹尺寸a0对宏观应力-应变曲线的影响。可见，a0越大，应力越小，材料损伤的程度越大，且发生损伤的时间也越早。这表明，初始缺陷的尺寸越大，材料的承载能力越低。图5(b)为临界张开位移δc对应力-应变曲线的影响。可见δc越小，应力越小，材料发生损伤的时机也越早，这与a0的影响不同。图5(c)为银纹应力σc对应力-应变曲线的影响。可见σc越小，应力越小，材料越容易损伤，这与δc的影响相同。图5(d)为初始微裂纹体密度对应力-应变曲线的影响。可见，微裂纹体密度越大，应力越小，变化趋势与a0的影响相似。这表明，在尺寸相同的情况下，初始缺陷的数目越多，材料的承载能力越低。图5(e)为空间取向数目对应力-应变曲线的影响。可见，不同数目下，应力-应变曲线的差别并不大，并且当方向数达到一定值(如192个)时，预测的应力值收敛于同一曲线。

5 模型验证

表1 复合固体推进剂微裂纹损伤模型的细观拟合参数 Table 1 Fitted micro-parameters for the micro-cracking damage model of solid composite propellant

T/℃δc/mmσc/MPa5·min-10.5·min-10.05·min-10.005·min-1200.00251.100.910.750.60-400.00184.102.621.821.38600.00280.790.680.560.45

Notes：T—Loading temperature；δc—Critical microcrack tip opening displacement；σc—Craze stress.

图6 不同温度和应变率下复合固体推进剂单轴拉伸预测结果与实验数据的对比 Fig.6 Comparisons of the predicted and test datas under uniaxial loading condition for solid composite propellant at different temperatures with varied strain rates

为验证模型的有效性，图6为不同温度和应变率下模型的预测值和实验数据[6](图中离散点)的对比。表1为δc和σc的拟合值，其余a0、η和m分别取0.05 mm、5 mm-3和192。可见，预测值与实测数据具有较好的吻合性，这表明文中建立的模型合理有效。同时注意到，表1中的参数具有如下取值规律：相同温度、不同应变率下，微裂纹的临界张开位移δc近似相同。银纹应力σc随着应变率的降低而减小，并且其取值略大于微裂纹扩展的临界应力σd(σd和下文的εd为图7中虚线与实线交点对应的应力和应变；材料未出现损伤前，定应变率下的应力曲线近似为一条直线，而直线发生偏折处即为损伤的临界点)。不同温度相同应变率下，δc随着温度的升高而增大，而σc随着温度的升高而减小。

对于上述取值规律，可做以下解释。由图6可见，同一温度、不同应变率下，εd几乎相同，与之对应，δc近似相等。对于σc，由于采用了稀疏估计的方法，微裂纹周围的平均应力为远场的加载应力。另一方面，受裂尖的应力放大效应和脱湿等微损伤的卸载效应共同影响，裂尖失效区内的平均应力稍大于微裂纹周围的平均应力；温度升高时，材料的韧性增加，微裂纹容易变形，故而δc随温度的升高而增大。

建筑工程包含了较多的数据信息，只有将不同建筑工程环节数据进行有效分析与整合，才能确保建筑工程全过程管理的实施效果。然而部分设计师在进行项目图纸设计时，经常因实地考核数据信息不准确，而对图纸设计未能进行规范性的内容标注，导致建筑工程进行全过程项目管理时，存在实际管理与图纸要求不一致的情况，进而需要重新进行相关环节审查与改进，影响到整体建设周期与水平。

图7 半空间中(x2≥0)微裂纹扩展后复合固体推进剂的尺寸分布 Fig.7 Size distribution of microcraks of solid composite propellant after growth in half space(x2≥0)

图7给出了x2方向单轴加载的某一时刻，半空间(x2≥0)上微裂纹扩展后的尺寸分布。可见，微裂纹的尺寸呈轴对称分布，并且节点坐标的x2值越大，裂纹扩展后的尺寸越大，而x2=0平面上的微裂纹几乎未发生扩展，这与微裂纹I型开裂的假定相吻合。微裂纹扩展尺寸轴对称的分布特点从细观结构上解释了单轴拉伸导致材料横贯各向同性损伤的物理现象。

(18)

(19)

式(18)给出了对应上述微裂纹分布的损伤映射张量P。可见，在单轴拉伸加载下，损伤映射张量P并非完全对称，这不同于经典损伤力学中定义的损伤效应张量[23]，但其映射的等效柔量仍具有主(完全)对称性，如式(19)所示，并且不难验证此时的材料为横观各向同性。

为解释损伤映射张量P所具有的重要物理意义，以上述单轴加载为例进行说明，此时的应力状态为，根据式(3)中等效应力的定义，有

(20)

由式(20)可见，等效应力在三个主方向上的分量均不为零。表明，对于单轴拉伸导致的横观各向同性损伤而言，损伤映射张量P的作用是将真实应力空间中横观各向同性材料的单轴加载映射为等效应力空间中各向同性材料的三轴加载。将此结论进行推广，不难得到损伤映射张量P的物理意义是，将真实应力空间中各向异性材料的多轴加载映射为等效应力空间中各向同性材料的更为复杂的多轴加载。由此可见，式(3)中的等效应力并不同于经典损伤力学中的定义[23]，后者只改变了应力的大小，而前者同时改变了应力的作用方向。

为了考察模型的蠕变损伤预测能力，图8给出了0.25 MPa单轴加载下，应变的预测值与无损蠕变应变的对比。图中微裂纹扩展曲线所对应的方向为图7中的A点。可见，在加载初期，微裂纹保持为初始尺寸0.05 mm，并未发生扩展。当加载至200 min时，微裂纹开始发生扩展。与无损的蠕变应变相比，微裂纹的扩展对材料的蠕变响应具有较大的影响。表明，本研究中建立的模型能够一定程度地反映材料的蠕变损伤行为。

图8 考虑损伤和不计损伤时复合固体推进剂单轴拉伸蠕变曲线 Fig.8 Creep curves of solid composite propellant under uniaxial tension loading with and without damage

6 结 论

(1) 基于黏弹性微裂纹扩展模型建立的损伤本构模型能够有效反映材料损伤的应变率和温度依赖性、各向异性及蠕变损伤行为。

《触电》一诗中的意象，即得自这种“相去遥远的真实的遇合”。“握手”、“双手合十”这种手与手的接触与“烫伤”、“烙印”在现实中的关系很远，但正是由于这两组意象“真实的关系疏远”，给读者以强烈的感官冲击。但北岛的诗与超现实主义作品不同的是，超现实主义追求的是无秩序的自由想象而北岛的创作仍是基于理性。

(2) 宏观应力随初始微裂纹尺寸a0和微裂纹体密度η的增大而减小，随临界张开位移δc和银纹应力σc的减小而减小。空间取向数目不影响参数a0、η、δc和σc的取值。

(3) 临界张开位移δc在同一温度、不同应变率下近乎相同，而银纹应力σc随着应变率的降低而减小，其值略大于初始损伤应力σd。

(4) 损伤映射张量具有非完全对称性，其物理意义是，用等效应力空间中各向同性材料的复杂的多轴加载，模拟真实应力空间中各向异性材料的多轴加载。

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