1 问题介绍

在本文中的一个主要结果如下.

定理1 设p≥5是素数, 那么p2整除

这原是“American Mathematical Monthly”的11292号问题, 见[1]. 该刊随后给出了一个证明. 本文给出了另一种证明. 更准确的说, 本文将原问题分解为若干小问题, 对每一个问题应用生成函数和一些小技巧加以证明. 生成函数的基本方法和术语参考文献[2]、[6].以下文中固定p为素数.

将原问题分解为若干小问题的处理方式, 意味着原问题并非一个单一结论, 而是若干基本结论的组合. 正如解析几何可以将几何问题分解为基本计算一样, 本文章的证明方式也揭示出这样一种分解方法, 可以将复杂的同余问题(尤其是关于合数的同余)转化为更简单的同余式, 然后加以处理.

定理1的证明依赖下面几个引理.

引理1 设m,n是非负整数,n<p, 那么

 

引理2 设p≡v(mod6)是素数, 其中v=±1,那么

 

2 证明

(1+x)mp≅(1-m)(1+xp)m+m(1+xp)m-1(1+x)p(modp2).

首先约定生成函数的一些记号. 设f(x)=∑kckxk和g(x)=∑kdkxk是有限和式,用f(x)≈g(x)表示c0=d0.≈是一种等价关系.一个常见结果是 作为另一种等价关系, 采用

(1+x)mp=((1+x)p)m

f(x)≅g(x)(modn)表示c0≅d0(modn). 这些符号便于使用等价性不断转化需要计算的式子, 直至结果足够简单. 比如下面的结果.

引理3 设m是非负整数, 那么

本文在整数多项式环Z[x]上考虑问题. 所有整除和同余的说法均指该环上的情形. 对该环的一些性质介绍见[3][4].

(1)

该引理是说, 当考虑模p2时, 可以用(1)的右端代替其左端. 注意右端事实上“更简单”, 因为m比mp小, 所以考虑模p2时,(1+xp)m的系数比(1+x)mp的系数更好约化. 该引理也是引理1和引理2的基础.

证明 因为在Z[x]中被p整除[5]. 所以, 只要k≥2,((1+x)p-1-xp)k就会被p2整除. 这一点用在了下面的同余计算中.

我恨恨地把窗户玻璃打破了，爬了出去。月亮很亮，我踩着自己的影子晃悠在扒锅街，我去找刘佳，扒锅街的人我最惦记的就是他了，我只亲了他一次，远远不够哩。

现在, 进一步证明上一节的引理.

=((1+xp)+((1+x)p-1-xp))m

 

≅

=(1-m)(1+xp)m+m(1+xp)m-1(1+x)p.

证毕.

鉴于此，笔者对倒置A2/O工艺系统的硝化效果、反硝化脱氮效果和反硝化除磷效果进行了分析，探讨进一步提高脱氮除磷效果的潜力，旨在为污水厂的生产运行提供理论参考和技术支持。

莽子狂吠着，丁主任却笑开了，伸出手迎上去：不好意思，这恶狗真把您吓着了。老邓嘿嘿地干笑了几声，脸上闪过一丝不快：有这么恶的狗，还丢东西？丁主任的笑一下消失了：真难为你们了。

引理1的证明 使用一次引理3, 有

 

(1+x)2p ≅-(1+xp)2+m(1+xp)(1+x)p(modp2)

 

(2)

注意n<p, 所以将(1+x)2n/xn展开后,x的次数在[-p+1,p-1]之间. 另一个事实是

(1-2m)(1+xp)2m/xmp可以写成和式∑kckxk. (2)中的第一项因而可以换成

 

而不改变其常数项. 类似情况 (2)的第二项中,(1+x)2n+p/xn可以替换成

 

作为这两次替换的结果, 有

 

≅

近年来，玉米幼苗矮小细弱，叶窄叶薄发黄，心叶扭曲不舒展，轻者生长缓慢，重者幼苗枯死。也有的玉米地块叶片发紫逐渐枯死。因此，造成不少地块玉米参差不齐缺苗断条，导致部分农民对个别厂家的肥料质量产生质疑。

 

 

 

证毕.

引理2的证明 直接计算表明

 

 

 

(3)

记上面最后一式为f0(x),f0(x)中x的最低次数是-p+1. 所以f0(x)≈f0(x)(1-x3p). 从而

f0(x)≈f0(x)(1-x3p)

 

 

(4)

 

再次使用引理3, 有

≅

=-1+2(1+x)p+x的高于p次的项

故

 

≅

 

(5)

显然,

 

(6)

总结一下(3), (4), (5), (6), 有

 

 

≅

互联网时代，为人们提供了全新的舞台。只要你内心足够强大，真正热爱某个事情，并把它做到最好，精品的内容就会得到应有的点赞与喝彩。

从宏观上看，新兴产业的“造血”常常来源于中小制造企业，在长周期中都会经历成长到衰退的演化经过。在行业进入稳定的成熟期之后很有可能产生利润压缩的现象，例如资源型衰退、过分聚集、效率下跌等，这时候伴随的是新兴产业的替代性崛起，打冲头阵的多数是中小型企业。

 

 

 

记为进一步计算, 这里要用到关于单位根. 设w=exp(2πi/3)是三次单位根, 那么

(1+w)6=(1+w2)6=1.

且

 

利用这两个结果, 有

 

≅

在“山大王”的绿色种植园区，每年生产加工野生食用菌600多吨，人工种植食用菌和各种果蔬900多吨，盖着黑色遮阳网的大棚整齐有序地排列着，远远望去就像片静谧的黑色海洋。

 

=-v+2(w-w2)((1+w2)p-(1+w)p)

=-v+2v=v.

这证明了引理2的一半. 另一半的证明方式是完全类似的.

最后, 设p≥5是素数, 那么有引理1和引理2, 有

 

 

 

 

参考文献：

[1] Callan D.11292[J].The American Mathematical Monthly,2007,114(5):451-451.

[2] 叶军.数学奥林匹克教程[M].长沙：湖南师范大学出版社,1998.

[3] Lang S.Algebra revised third edition[M].Berlin.Gemany:Springer-Verlag,2002.

[4] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社,1999.

[5] 闵嗣鹤,严士健,数论,等.初等数论,第三版[M].北京:高等教育出版社,2003.

[6] 潘承洞,潘承彪.初等数论.2版[M].北京：北京大学出版社,2003.