0 引言

偏微分方程边值问题的求解在当今的数学、物理及其在工业、航空等各方面的应用上都具有极其重要的意义，而一般来说它的求解都是复杂又繁琐的，本文要求解问题如下：

强化农村经济管理模式，展现出农村经济发展的重要性。首先，要提高农民文化程度及人格素养，需要从农村生产出发，引入高科技，带动农业生产。其次，可以增强环境保护力度[1]。农业发展往往伴随着环境污染，在农业生产时，要运用农业经济管理理念，避免环境污染。最后，引进高水平、高学历、高技能的人才，促进农村教育、农村经济的发展。

[39]施密特：《合法性与正当性》，刘小枫编，冯克利、李秋零、朱雁冰译，上海：上海人民出版社，2015年，第39-40页。

 

其中

(1)

这里假定

(2)

≥0, 在Ω中,

(3)

满足一致椭圆型条件≥|ξ|2, ∀

(4)

1 算子A的特征值

1.1 空间HA与的相关定义

HA是关于范数的完备化空间，是关于范数的完备化空间．

按照变分法的常规思想，可以证明空间HA与的等价性，只需在中寻找方程的广义解．

1.2 算子A的特征值，特征函数的求取

1.2.1 寻找算子A最小特征值

∀由条件(2)～(4)及Fiedrichs不等式，得出

 

定理2.1 (近似解的建立)∀m，存在具有形式(*)的um，满足(**).

(6)

由此可知

现在需要证明弱解的存在唯一性，才能说明弱解即是通解.

(7)

此式说明，泛函J(u)有正的下界．因此，如果定义

 

(8)

则λ≥c>0，且λ1是算子A的最小特征值.

1.2.2 求出算子A的所有特征值

假设已经得到算子A的m-1个特征值λ1,…λm-1(m ≥2)，且

λ1≤λ2≤…≤λm-1，

对应于λ1,λ2…λm-1的特征函数为

u1,u2,…,um-1,

且‖uk‖2=1，k=1,2,…m-1．该函数组的线性组合成L2(Ω)的一个线性子空间，记为Vm-1=span{u1,…um-1}，以表示Vm-1在L2(Ω)中的正交补空间．

根据泛函J(u)的有界性(7)，可以求出算子A的第m个特征值

 

证明：假设存在um，使[um,φi]=(f,φi)．

2 应用特征函数解决开篇提出的椭圆方程的边值问题

以下是在有限维空间中构造近似解，并通过能量估计定理的保证将近似解取极限得到弱解，最后证明了弱解的存在唯一性的思路来源于Lawrence.C.Evans编著的Partial Differential Equations(第349～358页)[1].

设是中的规范正交系,(φi,φj)=0,i≠j

⑮对此，有学者对信息删除权做了系统的构建，包括删除的内容、边界等。参见余筱兰《民法典编纂视角下信息删除权构建》，《政治与法律》2018年第4期。

现在就是想办法构造近似解um，使其在构成的有限维子空间上是方程的解

令

并希望[um,φi]=A(um,φi)=(f,φi). (**)

≥≥

则

由于是无限维空间，按照(8)得出算子A的特征值的无限序列0<λ1≤λ2≤…≤λm≤…,及其相应的特征函数序列u1,u2,…um,….

1.3检测方法 我们根据《中医妇科学》相关的诊断标准来进行诊断,显效:患者的中医证候评分降低超过80%,月经量不超过100ml;有效:患者中医证候评分降低超过60%,月经量减少一半;无效:患者的中医证候评分减少超过60%,经量无改善。有效率=(显效+有效)例数/总例数×100%。

纳入本研究的流感病毒感染的患者需符合至少以下1种实验室诊断标准［7］：①流感病毒核酸检测阳性；②流感病毒快速抗原检测阳性（胶体金法），且有流行性感冒的病史和临床表现。

由于系数行列式是非零的，故线性方程组有唯一一组解a1,a2,…am，并且

 

所以ai=(f,φi)，近似解

参照Lawrence.C.Evans编著的Partial Differential Equations(第349～358页)，现在需要证明相应的能量估计，从而才能将定理2.1求出的近似解取极限m→∞，得出方程的弱解.

定理2.2 (能量估计)存在系数C, 使得≤

证明：由Fiedrichs不等式[2]

|(f,um)|≤‖f‖2·‖um‖2≤ ∀ε>0

≤ ∃C1>0

另一方面，≥ ∃C2>0.

综合可得，≤

只要取适当的ε，使C2-εC1>0即可满足

≤ 令即可.

≥c>0, ∀

引理2.1[3]自反的Banach空间的有界序列有弱收敛子列.

定理2.3 (弱解的存在性)方程存在一个弱解.

证明：在中有界，则存在子序列{uml}⊂{um}，

使在中,

固定N,令

则[um,v]=(f,v),取m=ml,有[uml,v]=(f,v),

取弱极限，得到 [u,v]=(f,v).

故∀有[u,v]=(f,v)(***).

定理3.4 弱解的唯一性.

证明：只须证当f≡0时，u≡0即可.

在(***)式中，令v=u，得到[u,u]=[f,u]=[0,u]=0,

则u≡0在Ω中,又u=0在∂Ω上,

故证得u≡0，弱解的唯一性得证．

3 结论

本文求解了偏微分方程边值问题在空间上的通解

即其中是算子A的特征向量，也是的规范正交系.

参考文献：

[1] Lawrence C.Evans．Partial Differential Equations[M]．Graduate Studies in Mathematics，19．New York：American Mathematical Society，Province,RI，1998：349-358．

[2] 陈恕行．偏微分方程概论[M]．北京：人民教育出版社，1981：17．

[3] 陆文端．微分方程中的变分方法[M]．四川：四川大学出版社，1996：65．