1 引言

C.-R.方程是在学生学习了复平面的点集、复变函数的概念及解析函数的概念的基础上对函数解析性的条件做进一步探讨。在大学阶段复变函数主要讲授的内容就是复变函数的解析性、复变函数的积分及解析函数的幂级数表示,其中复变函数的解析性是后两者的基础,而C.-R.方程又是函数解析性的核心内容,因此，学生对C.-R.方程这部分内容的掌握情况关系到对整门课程的学习情况十分重要。

但是，《复变函数》这门课程难度较大,再加上在数学专业的培养计划中,该门课程往往在第五个学期开设,与第一个学期就开设的基础课程《数学分析》相距时间较长,有关知识会有一定程度的遗忘，这进一步增加了学生对该课程相关知识的理解难度[1],所以对于任课老师来说，如何进一步优化教学过程就显得非常重要。

随着经济条件和市场环境的改变，传统的价格干预型的财税优惠政策已经退出历史舞台。面对目前普遍存在的化肥产能过剩的局面，短期内仅仅依靠市场调控加以解决是不现实的，政府应该在充分尊重市场原则的前提下，适当加以引导。现阶段，政府对化肥产业加以干预矫正的方式应该重在鼓励创新、培育市场。相应的财税优惠政策手段也应该更加注重服务性和功能性。

2 教学过程分析

第一步：复习引入,先请学生回忆实函数的导数与微分的定义,然后过渡到复变函数的导数与微分的定义[2],即：

杨树扦插育苗中，由于春天地温比气温回升慢，会造成插穗在扦插后先出芽后生根的现象，先出芽会消耗插穗中的营养，但是这时插穗还没有生根，无法及时从土壤中给芽的生长提供水分及营养，影响扦插苗的树势。所以在营建青杨雄株采穗圃时选用前一年扦插平茬根桩作为母根来定植，平茬高度离地10-15cm为宜，有利于侧芽的萌蘖和直立生长。

1.鉴于C.-R.方程的推导过程中需用到《数学分析》中偏导数的相关知识[3],引导学生回忆在实数范围内二元函数偏导数的定义[4],即：

 

Δv=v(x+Δx,y+Δy)-v(x,y),

(1)式变形为

反例分析：复变函数在z平面上连续但处处不可微.

第三步：解析函数的定义及复变函数的求导法则.

定义：如果函数w=f(z)在区域D内可微,则称f(z)为区域D内的解析函数,或称f(z)在区域D内解析.

然后进一步讲解奇点的概念及在实函数的求导法则基础上讲解复变函数的求导法则.

若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z=x+iy可微,设

第四步：函数解析性的条件分析—C.-R.方程.

设复变函数w=f(z)在点z0的邻域内或包含z0的区域D内有定义,比值

《普通高中生物学课程标准（2017年版）》提出：“积极开发与利用生物学课程资源”、“课程内容有机融入中华优秀传统文化”。我国有56个民族，壮族是少数民族中人数最多的民族，主要分布在广西壮族自治区。它具有独特的饮食文化，其中蕴含着丰富的生物学知识，当地教师挖掘其中的生物学课程资源并运用到生物学教学中，既有利于学生认识壮族饮食文化中的生物学知识，又可拓宽生物学课程资源的开发路径。

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),如果

 

存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对变量x的偏导数,记作fx(x0,y0)或同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对变量y的偏导数.

2.C.-R.方程的基本条件：

假设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是复变元z=x+iy的一个定义在区域D内的复变函数,则w=f(z)完全由实部u(x,y)和虚部v(x,y)这两个二元实函数确定,这样就把复变函数导数的问题转化为两个二元实函数的偏导数问题,但需要向学生强调的是：即便实部u(x,y)和虚部v(x,y)这两个二元实函数对变量x和变量y的所有偏导数都存在复变函数w=f(z)也通常不可微,可参考第二步的反例因此，在w=f(z)可微的情况下,实部u(x,y)和虚部v(x,y)一定满足一定关系.

3.实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足的关系式—C.-R.方程的推导[2]：

3.1.2 配合施用生物肥料。生物肥料又称生物菌肥，是人们利用土壤中有益微生物制成。其性质与其它肥料不同，本身不含有大量元素，主要以微生物生命活动的产物来改善植物营养条件，抑制某种病害发生，发挥土壤潜在肥力的作用，从而获得农作物的增产效果。

 

(1)

令Δz=Δx+iΔy,f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，其中

式中,x为输出向量,ε为加性噪声污染。假设加性噪声ε符合均值为0,方差为的正态分布,即则观察值y的先验分布为

如果当z按任意方式趋近与z0时,即Δz以任意方式趋近于零时,比值的极限都存在,且其值有限,就称此极限为f(z)在点z0的导数,记为f′(z0),这时称为f(z)在点z0的可导。称f′(z0)Δz为复变函数w=f(z)在z的微分,记为dw或df(z),此时也称w=f(z)在z可微。

Δu=u(x+Δx,y+Δy)-u(x,y),

第二步：强调并举例说明复变函数可微与连续性的关系,即：复变函数f(z)在点z可微,则f(z)在点z必定连续,反之不成立.

 

(2)

因为Δz沿任何路径趋于零时(2)式总成立，不妨另Δy=0,Δx→0(平行于实轴的方向)，这种情况下(2)式为

 

转化为偏微分形式为

 

(3)

同理,另Δx=0,Δy→0(平行于虚轴的方向),这种情况下(2)式为

（4）使用种次号能实现计算机编目。编目系统可自动查重而生成新的种次号，实现种次号的自动取号，提高编目效率。

 

转化为偏微分形式为

基础饲粮为玉米-豆粕-稻壳型日粮，营养标准参照NRC（1994）及本教研室相关鹅营养学研究成果[6]，按照鹅的生长发育阶段营养需要配制。基础日粮的原料组成及营养水平见表1。

 

(4)

对比(3)式和(4)式的实部与虚部可得

(C.-R.方程)

上式关于u和v的方程组就称为柯西-黎曼方程(C.-R.方程)[2].

作为一种新媒体，微博本身并没有好坏之分，关键要看使用者如何对待它。只有官员合理利用微博，使其具有较强的公信力，才能更好地发挥微博的作用。而官员微博公信力的提高，需要官员自身和社会各界长期理智地对待微博。提升官员微博公信力的策略主要包括以下几个方面：

接下来,利用C.-R.方程可以研究复变函数可微的充要条件及充分条件,在此就不再分析。

3 总结

通过以上C.-R.方程教学过程的分析及梳理,使复杂繁琐的复变函数问题变得清晰有条理,减少了学生掌握这部分知识的难度,在实际教学过程中取得了较好的教学效果,但也发现学生对二元实函数的偏导数的有关知识遗忘较多或者大一学习时掌握的不够牢靠，今后需提前提醒学生做好这部分知识的复习。

参考文献：

[1]朱俊恭.新生学习中常见错误与数学分析的教学[J].遵义师范学院学报，2004(6)：62-63.

[2]钟玉泉.复变函数论(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]尹景本，赵晨萍.复变函数课程的教学方法探讨[J].长沙大学学报，2013(2)：125-126.

[4]华东师范大学数学系.数学分析(第四版下册)[M].北京：高等教育出版社，2010.