人口问题是我国面临的最重大的问题之一.无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义.[1]认识人口数量的变化规律,做出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.研究我国大陆人口变化情况，先介绍两种基本的人口模型，[2]并利用文献[3]中我国大陆1949～2010人口统计数据对模型做出检验，最后用它预报2019～2080年我国大陆人口.

1 指数增长模型（马尔萨斯人口模型）

此模型由英国人口学家马尔萨斯 （Malthus1766～1834）于1798年提出.[4]

（1）假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.

第一类人好办。大家的意见也是我的想法，我的观点。举手同意，心安理得。第二类人，表面看起来，也不难。多数人举手我举手，多数人反对我反对。对了，我跟着沾光；错了，我也无大责。即使要追责，天塌下来，有高个子顶着。“不为戎首，不为祸始。”（鲁迅《华盖集·这个与那个》）看起来，既顺理，又成章。而其实，这类人也是不易。人，可以欺骗全世界，但唯独不能欺骗自己，除非他有两副心肝。也因此，当自己的观点不被采纳，当自己的意见被否定，还要装模作样地表示，同意大家的意见，是很痛苦的事，是极不情愿的事。当夜深人静之时，扪心自问，可能不是失眠，就是恶梦。

（2）建立模型：记时刻t=0时人口数为x0，时刻t的人口为 x（t），由于量大，x（t）可视为连续、可微函数.t到t＋Δt时间内人口的增量为：

（3）模型的求解： 解方程组（4）得

（3）模型求解： 解微分方程（1）得

表明：t→∞ 时，x（t）→∞（r＞0）.

（4）模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用文[1]的数据通过拟合得到.通过文[3]中1949～2010的数据拟合（见图1）得：r=0.017.

图1 指数增长拟合图

（5）模型检验：将 x0=54167，r=0.017 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1949～2010年的人口数，见表1，这里只列出1991～2010年的数据.

从表1可看出，1991～2010间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但2006年以后的误差越来越大.如果用此模型来做较长期预测，则误差越来越大，可信度越来越小.

水稻育秧主要采取软盘细土育秧与双膜细土育秧这两种方式。以软盘育秧为例，通过软盘细土进行水稻育秧必须保证各个育秧操作环节的标准化，其中，播种的质量好坏将对秧苗的质量和水稻机插秧的效果产生直接的影响。所以，在育秧和插秧的实际操作中，要根据具体的水稻品种准确计算好播种的数量和质量，无论是人工育秧还是机械育秧，都需要尽可能的做到播种均匀。

（1）假设：人口增长率 r为人口 x（t）的函数 r（x）（关于 x 为减函数），最简单假定 r（x）＝r-sx，r，s＞0（线性函数，r，s为常数），r叫做固有增长率.

表1 中国大陆实际人口与按指数增长模型计算的人口比较

指数增长模型预测人口（万） 误差（%）1991 115823 110616.8 4.494973 1992 117171 112513.3 3.975089 1993 118517 114442.4 3.437966 1994 119850 116404.6 2.874778 1995 121121 118400.4 2.246206 1996 122389 120430.4 1.60032 1997 123626 122495.2 0.914692 1998 124761 124595.4 0.132716 1999 125786 126731.7 0.751794 2000 126743 128904.5 1.705424 2001 127627 131114.6 2.732663 2002 128453 133362.6 3.822112 2003 129227 135649.2 4.969676 2004 129988 137974.9 6.144345 2005 130756 140340.5 7.330092 2006 131448 142746.7 8.595581 2007 132129 145194.2 9.888183 2008 132802 147683.6 11.20582 2009 133450 150215.6 12.56324 2010 134091 152791.1 13.94585年实际人口（万）

2 阻滞增长模型（Logistic模型）[5]

分析原因，该模型结果说明人口将以指数规律无限增长.事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件、人口政策等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中比较著名的一个.

利用阻滞增长模型预测的1980～2010年的人口数，见表2第3列.这里只列出2000～2010年的数据.

将（3）式代入（1）得模型为：

于是 x（t）满足微分方程：

吃完饭大家都散了，甲洛洛想想西西突然变红的脸，心里暖暖的，看到西西那浅绿的瓷碗里还剩小半碗饭，他便端起碗，一小口一小口地品味：她的胸脯肯定很大，那么厚的衣服都挺得起来，还有那屁股，软软的、滑滑的……哎！多么笨的女人，错过了多少美好的事！

（4）模型的参数估计：利用文[3]中 1949～2010的数据对（6）式中的 r和 xm进行拟合（图 4），得r=0.03494，xm=171900.

陶慕侃吃了一惊,赶快拆开。他还想或者这位朋友是病倒在那里了;他是决不会做和尚的。一边就抽出一大叠信纸,两眼似喷出火焰来地急忙读下去。可是已经过去而无法挽回的动作,使这位诚实的朋友非常感到失望,悲哀。

式（6）就是通常所说的Logistic模型.[6]根据方程组（4）作出曲线图（图2），由图2可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据式（6）作出x～t曲线（图3），由图3可看出人口数随时间的变化规律.

图2 曲线图

图3 x～t曲线

自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为xm，则当 x=xm时，增长率应为 0，即 r（xm）=0，于是

裂隙扩展方向上发散程度存在的差异在于，水平地应力比不同时煤体破坏类型不同。声发射结果(图5)表明：应力比为1.1的模型中，代表煤体产生拉伸破坏的红色区域占比最大，拉伸破坏使得煤体中主要形成张型裂纹，导致裂隙扩展方向发散不集中；随着水平应力比增大，煤体破坏类型由拉伸破坏逐渐转向压剪破坏，在应力比为1.8的模型中，白色、黑色能量圈占据主导，煤体中新裂隙形成释放能量最大。

图4 阻滞增长拟合图

（5）模型检验：将 r=0.03494，xm=171900 代入公式（6）得

（2）建立模型：设

“印刷无处不在，其应是一个充满朝气的行业”“印刷的下一个兴奋点或许就是混合印刷，如将凹印的精美度、柔印的环保性等结合起来，形成最终的印刷产品”“高斯（中国）不会将视线仅仅聚焦于目前的业务，我们或将发展新的印刷媒体、新的介质”，当刘忠荣总工程师侃侃而谈对于印刷与企业之未来的畅想时，眼中闪动的是一种期待。确实，就高斯（中国）而言，走到今天，每一步都是一次关乎自我的蜕变，而每一次蜕变亦都是一次成长，至于未来，那些已然确认的笃定和未曾料想的颠覆，值得期待。

将方程（6）离散化，得

用公式（7）预测 1980～2010的人口数，[7]结果见表2第5列，这里只列出2000～2010年的数据.

从表2可以看出，连续化和离散化的计算结果差别不大，而且，两者的误差都在减少，因此，可以用以上两种方法对我国人口总量可以进行预测.连续型阻滞增长变化曲线如图5.[8]显然，图5和图4一致.

近年来，伴随着加氢裂化装置大型化和原料劣质化的趋势，装置的投资成本不断增大，装置操作的苛刻性增强，装置事故的人身危害性和财产损失度也不断增大，因此装置安全联锁保护的内容不断完善，联锁保护措施也不断增强。相对上述安全联锁逻辑关系的保护内容在一些建成和在建的加氢裂化装置中也增加和完善了以下内容的联锁保护：

图5 阻滞增长模型变化曲线图

表2 中国大陆实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

阻滞增长模型年 实际人口（万）公式（6） 公式（7）预测人口（万）误差（%）预测人口（万）误差（%）2000 126743 125857.7 0.698 125912.1 0.66 2001 127627 127026 0.471 127089 0.42 2002 128453 128174.9 0.217 128246.6 0.16 2003 129227 129304.2 0.060 129384.5 0.12 2004 129988 130413.8 0.328 130502.6 0.40 2005 130756 131503.6 0.572 131600.7 0.65 2006 131448 132573.3 0.856 132678.7 0.94 2007 132129 133623 1.131 133736.4 1.22 2008 132802 134652.5 1.393 134773.8 1.48 2009 133450 135661.8 1.657 135790.8 1.75 2010 134091 136651 1.909 136787.4 2.01

利用阻滞增长模型对2019～2080年我国大陆人口预测，结果如表3（只列出2019～2038的数据）.

以上模型都表明人口总量随时间都在增长，这和人口变化不一致，因为在有些国家，已出现人口负增长，另一方面，以上两个模型都没有体现我国人口政策.

表3 中国大陆2011-2080年按阻滞增长模型预测

年份 公式（6）预测公式（7）预测 年份 公式（6）预测公式（7）预测2019 144654.3 144847.2 2029 151746.8 151976.1 2020 145445.9 145643.7 2030 152360.2 152591.6 2021 146218.5 146420.9 2031 152957.2 153190.4 2022 146972.5 147179.2 2032 153538.1 153773 2023 147707.9 147918.7 2033 154103.3 154339.5 2024 148425.2 148639.8 2034 154653.1 154890.4 2025 149124.4 149342.5 2035 155187.7 155425.9 2026 149806 150027.2 2036 155707.5 155946.4 2027 150470 150694.2 2037 156212.8 156452.1 2028 151116.9 151343.8 2038 156703.8 156943.3

参考文献：

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[2]杨丽霞，等.数学模型在人口预测中的应用—以江苏省为例[J].长江流域资源与环境，2006，15（3）：289－290．

[3]国家统计局年度统计公报http://www.stats.gov.cn/tjsj/tjgb/ndtjgb/

[4]王勇胜,薛继亮.基于多种模型组合的我国2015年人口总数预测[J].西北农林科技大学学报（社会科学版），2009，9（1）：75-78.

[5]蒋远营，王想.人口发展方程模型在我国人口预测中的应用[J]．统计与决策，2011，（15）：52-54.

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