1 引言

二十一世纪的中学教师，不仅应具有扎实的专业基础知识，而且应具有较强的科研能力．没有一定的科研能力，教学水平的提高是不可能的．目前的高师数学专业由于开设的课程繁多，学生在校期间主要以课堂学习为主，因此高校教师在课堂教学中要重视培养学生的科研意识和科研能力．

《高等代数》（文献[1]）第六章第四节（6.4基和维数）里，在给出“向量空间的维数”之定义和例子后，定理6.4.2～定理6.4.5这一段，若按教材安排的次序，将这四个定理逐一分析，然后写出正确的证明过程，教师比较轻松，但这种照本宣科的教法，只是把知识灌输给学生，学生感到枯燥乏味．有时教科书里内容的编排次序与数学研究和数学发现的真实过程正好相反，若照本宣科，学生感到的只是数学的高度抽象性和逻辑的严谨性，却很难体会到“数学发现”的思路与乐趣，更难体会到数学研究的方法．为了在传授知识的同时，把研究数学的真实过程还原回去，使学生真正体会到研究数学的思想与方法，从而激发学习兴趣，巩固专业思想，热爱数学，培养学生的科研意识与科研能力.这就要求教师重新组织教材内容，把内容讲活．

2 教材处理的具体措施

下面是课堂教学中的处理教材的具体措施．

先给出并证明定理6.4.2，之后提出这样的问题：“若向量空间V中每一个向量都可唯一地表示为 V 中向量 α1，α2，…，αn的线性组合，则{α1，α2，…，αn}是V的基”成立吗？（即逆定理成立吗？）．教师引导学生思考：既然V中每一个向量都可表示为α1，α2，…，αn的线性组合，则 α1，α2，…，αn是 V 的生成元，若能证明这组向量线性无关则做成V的基．由已知，零向量可唯一地表示为 0=0α1+0α2+…+0αn，这说明 α1，α2，…，αn线性无关，从而做成 V 的基，于是发现定理6.4.2的逆也成立．将“其逆也成立”补写到定理6.4.2后．教材上将此逆定理是作为习题的，其实这样地处理是顺理成章的，很自然的，片言即获答案，毫无赘烦之感（数学的许多结果就是这样得到的）．接着给出定理6.4.5.

定理6.4.5 设W1和W2都是数域F上向量空间V的有限维子空间．那么W1+W2也是有限维的，并且

引理2（教材定理6.4.3）n维向量空间中线性无关向量组最多含n个向量，即n维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关.

证明 设{α1，α2，…，αr}是 W1∩W2的基，则 α1，α2，…，αr是 W1中线性无关向量组，添上一些向量扩充成 W1的基{α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs}.

任取0≠α1∈W，若α2∈W不能由α1线性表示，则 W 中向量{α1，α2}必线性无关；若 α3∈W 不能由{α1，α2}线性表示，则 W 中向量{α1，α2，α3}必线性无关.如此一直下去.

宫宝田苦苦央求师叔去宫中任职，跟着前来的朝廷官员则对程母嘘寒问暖，几个小太监不怕脏不怕累为程母打扫屋子，惹得程母又是一阵瞎感叹“康熙爷的人员又回来啦”，也建议程廷华给朝廷效力。

2.日常管理能力有待于进一步提高。油田科研院所作为国有特大型企业人才密集、技术创新的重要窗口，工作界面涵盖方方面面内容，班组建设整体发展不太均衡，班组基础管理相对薄弱，主要表现为：有的管理制度健全，但修订完善不及时，执行落实不到位；有的组织开展活动较好，但记录资料较少；有的管理自主能力差，班组长素质不高、不能适应安全生产工作；有的班组学习意识不强，知识老化，不能适应新岗位需要；有的管理基本到位，但却没有明确的目标、措施，缺乏创新。新形势下的班组建设应进一步提高认识，明确建设目标，加强统一规划和指导协调，筑牢基础工作，全面提高管理水平。

证明结束后教师指出：定理6.4.5的证明过程中存在三个问题：

（1）W1∩W2是否是有限维的.

以下将剖析纠纷事实中涉及乡村内生秩序的关键性经验线索，从纠纷社会文本中提炼出乡村秩序的正义经纬，即关于乡土正义的相关社会规范，为理解纠纷主体的社会行动提供基础。

因此，在证明定理6.4.5之前先需解决这三个问题.

（3）证明过程中假设 r＞0，那么 r=0时怎样证.

经评估，示范工程生态效益显著，关键要素包括底栖动物和水文地貌要素都已取得明显改善，底栖动物物种增加（包括清洁物种数量）、生物多样性提高，水文地貌级别提高，河流生境及其生物状况都有了质的变化，取得了预期修复效果。

（2）W1∩W2的基能否扩充成 W1及 W2的基.

对于问题（1），答案是肯定的，这就引出引理1.

引理1 设V是有限维向量空间，W是V的任意一个子空间，则W必是有限维的且dimW≤dimV.

证明 dimV=0或dimV＞0，而W为平凡子空间时显然成立.

（1）使滑动变阻器与电流表负接线柱串联，滑动变阻器接入电路的阻值要一上一下连接，故将滑动变阻器的下接线柱接入电路，如图丙。

这里dimW1=r+s，dimW2=r+t，那么子空间W1+W2由向量

下设dimV=n＞0，且W是V的真子空间.

若能证明“W中线性无关向量组所含向量个数不超过n”，则必存在W中线性无关向量组{α1，α2，…，αr}，而 W 中每个向量都可由 α1，α2，…，αr线性表示（r＜n），故 W 是有限维的，并且

因此，要使引理1成立，尚需且只需证明引理2.

有些行业设计规范对使用高强钢筋无明确的强制性要求，设计人员也就依照固有的设计理念进行工程设计。此外，随着城镇化的推进和对各类基础设施的持续投入，设计院承担的任务也日益繁重，设计人员已经习惯于采用335 MPa钢筋，若在图纸设计中全面推广应用高强钢筋，则整套设计思路需要改变，对各种应力、强度、安全系数等参数要重新进行计算、试验和验证，因此，设计人员在主观上不愿投入精力将高强钢筋的应用研究融入到设计工作中。

[18]敬乂嘉：《合作治理：再造公共服务的逻辑》，天津：天津人民出版社，2009年，第172-173页。

证明 设V是一个n维向量空间，{α1，α2， …，αm}是 V 中线性无关向量组，取 V 的基{β1，β2，…，βn}，则{α1，α2，…，αm}中每个向量都可以由{β1，β2，…，βn}线性表示，由替换定理，m≤n.

以上证明是假设n≥1，当n=0时引理2是否成立？简单分析发现n=0时引理2也成立，因之引理2后可补写“（n≥0）”.

生成（以下略，参考教材中的证明）．

于是问题（1）得到肯定回答.下面考查问题（2）.

三年级的孩子，在一二年级第一学段认识了1600-1800个字左右，会写的也有1000个字左右，到三年级，他们已经具备了写作的能力。但他们对语言的运用还不娴熟，词穷，作文时往往抓耳挠晒，无从下笔。写出来的东西都是往往干巴巴的不生动，对作文就没有兴趣，产生畏惧心里。这时候，我们老师就得引导学生学以致用，将学到好词好句，特别是成语好好运用到作文中来。

引理 3 （教材定理 6.4.4）设 α1，α2，…，αr是 n维向量空间V中一组线性无关向量，那么总可以添加 V 中 n-r个向量 αr+1，αr+2，…，αn使{α1，α2，…，αr，αr+1，αr+2，…，αn}做成 V 的一个基（n＞0）.

特别，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基（只需添0个.）

证明 参考《高等代数》（文献[1]）教材.

于是，问题（2）得到肯定回答.

关于问题（3），当r=0时，直接取W1的基与W2的基，凑成W1+W2的基，让学生作为课外作业完成（若时间允许，可让学生当堂完成）.

至此，教材中的定理6.4.5的证明完成.整个证明过程脉络非常清晰，体现了知识的发现过程，包含了科学的思维方法，把数学问题的研究过程还原给学生，很自然地吸引了学生的注意力，使学生处于积极思考之中，同时又寓教于乐，消除了学生对数学的神秘感与枯燥感.

3 结束语

在高校课堂教学中培养学生的科研意识和科研能力，方法很多，要求教师能够全面系统地把握教材，弄清知识体系，既把知识很自然地传授给学生，又在不知不觉中使学生的科研意识得到加强，科研能力得到提升，使学生终身受益.

参考文献：

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第5版)[M].北京：高等教育出版社，2007：228-235.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳，石生明修订.高等代数（第3版)[M].北京：高等教育出版社，2003：242-266.

[3]刘仲奎，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：236-250.