近年来，越来越多的学者开始关注具有功能反应的系统，因为功能反映能够更真实地描述生物种群之间的营养转移，尤其是食饵与捕食者.[1-3]杨斌[4]在系统（1）中通过重合度理论中的延拓定理研究了系统（1）周期解存在的充分条件.

进一步，在文[4]的基础上对食物链进行了扩展，研究具有Holling IV型功能反应的N种群食物链离散系统（2）.

其中 xi（k）表示 k 时刻的种群密度，r1（k）表示 k 时刻的内禀增长率，ri（k）是种群 xi第 k 代的死亡率，di（k）是k时刻种群内作用系数，mij（k）是k时刻种群间的相互作用系数（i，j=1，2，3，…，n 且 i≠j）.N 是非负整数集，[0，+∞）N 是离散区间[0，+∞）N={0，1，2，…}.对任意的有界序列 y（k），记

令 R+=[0，+∞），

对于系统（1）做如下基本假设：

这个档案，应当是两个方面：一个是类似于在职职工的人事管理，形成系统管理的基础，这个与企业结合就可以了；另外一个档案，是建立幸福档案，这必须服务社自己动手，这个比第一个更重要。即把所有职工家庭的经济婚姻职业等所有的情况摸清楚，然后分为三大类，A～F六个层次：A为最幸福，不仅仅是经济的，还有这个职工的荣誉，受尊重程度等等；F为最不幸福的，譬如：大病，久病，家庭不幸，经济困难等。

成立，则系统（2）是持久的.

是定义在N上的非负有界序列，且满足

由定理1可知，对任意足够小的常数ε＞0，存在一个正整数 ki和 Mi，使得对一切 k≥ki，有

根据差分方程的基本理论，对于给定的初始条件（3），易证系统（2）有唯一解

且 xi（k）＞0，i=1，2，3，…，n，k=0，1，2，….

主要目的是通过差分方程的比较原理和数学分析方法，给出系统（2）持久的充分条件.

1 相关定义与引理

定义1 若存在正常数Mi和mi使得系统（2）的任意正解 x（k）=（x1（k），x2（k），…，xn（k））T满足

则称系统（2）是持久的.

孕妈妈要保证均衡营养的膳食，避免摄入过多碳水化合物和热量，而应补充丰富的维生素、矿物质以及富含蛋白质的食物，如黑木耳、银耳等，但不要一下子吃太多。此外，孕妈妈也要多吃含有维生素C的水果，以促进胶原蛋白的生成，使肌肤更有活力。

引理 1[5] 设{x（k）}满足 x（k）＞0，且

其中 r（k），a（k）是有正的上、下界的非负序列，k1∈N，则

全力落实水利法规政策。报请省人大出台《辽宁省水土保持条例》；出台《辽宁省水利工程质量奖惩办法》等规范性文件。

引理 2[5] 设{x（k）}满足 x（k）＞0，且

x（k+1）≥x（k）exp{r（k）-a（k）x（k）}，k≥K0，且

其中 r（k），a（k）是有正的上、下界的非负序列，K0∈N，则

中间层位于表示层和数据层之间，由Web服务器和ArcGIS Server服务器支撑，为系统提供GIS服务调用、业务逻辑运算和数据访问响应三大功能。通过Web Service服务的方式响应表示层的请求和操作，实现客户端服务调用的统一控制。中间层的设计降低了系统的耦合度，提高了系统的扩展性，并通过Web Service服务代理的方式提高了系统开发的灵活性。

考虑单种群离散模型：

若 y（k0）≤u（k0），则对 k≥k0，有 y（k）≤u（k）.

引理 3[6] 令 k∈N，对任意固定的 k≥k0，g（k，r）关于 r≥0 是非减函数.进一步，令 y（k）和 u（k）是定义在N上的两个序列，且满足下面不等式：

其中 a（k）和 b（k）是定义在 k∈N=0，1，2，…上的严格正实数序列，且满足 0＜al≤as，0＜bl≤bs.

引理4[6] 系统满足初始条件N（0）＞0的任意解满足

借助教具模型模拟遗传信息的翻译过程，学生不但理解了翻译的过程，还对这一过程中的密码子、反密码子、tRNA和翻译等概念有了较为深刻的认识。对于另外一些较难理解的内容(如伞藻嫁接、核移植实验、有丝分裂过程、减数分裂过程、基因的分离定律和自由组合定律等)，其过程都不易通过实验直接观察，都可借助模型教具模拟动态过程，引导学生深入思考。在模拟实验过程中逐步培养学生的科学思维能力，并养成运用科学思维的方法认识事物、解决实际问题的思维习惯。

引理 5 假设（i=2，3）成立，则系统满足初始条件的任意正解

成立，则系统是持久的.

2 主要结果

定理1 假设

集团在牵头推进“云品入沪”“云品入京”“云品出滇”进程中迈出了坚实步伐，树立了良好形象。搭建了南北名特优农产品联展平台，在北上广深港澳台核心商圈建成了11个“云品”体验中心；参与或承办了三届“云南特色·冬农魅力” 云南高原特色现代农业（北京）展示推介等活动；参加“外交部蓝厅云南全球推介活动”；参与“南博会”，制作并持续播出中国首档高原特色农业美食体验节目《七彩飘香》；在云南大学等高校布局了13个“爱云咖”校园主题创客空间，建设运营“上海自贸区万国咖啡馆（中国馆）”。

现在考虑 xi（k），（i=4，…，n-2）的持久性.

取i=3得系统（2）的第三个方程为

对足够大的k有

于是运用引理1和（5）式可得下面结果

假设对某个i∈{4，…，n-2}存在一个正整数ki和 Mi，使得对一切有

由系统（2）的第n-1个方程有

于是由条件（H5），运用引理 1 和（6）式可得

有道是，“宝贝放错了地方就是垃圾”。依我看，“能量”一旦用错了地方，就是“废品”，甚至是“危险品”。我们知道，毒品中毒有“急性”与“慢性”之分，而慢性中毒更为常见。所谓慢性中毒，是指人体脏器通过吸收毒品，积少成多，慢慢累积，以致形成侵蚀和损伤，且中毒所造成的疾病状态会一直伴随。现实生活中，一些人因为不了解慢性中毒的概念和危害，麻痹大意，吸毒中毒。铁的事实表明，毒品既毒害着身体，也毒害着家庭，更毒害着社会。而像吴业平这样的干部，因为“能量”用错了地方，其造成的危害，并不亚于“毒品”。

综上所述由归纳法最终可得

下面证明

由系统（2）的第n个方程有

于是由条件（H6），运用引理 1 和（7）式可得

三是水生态建设深入推进。广州、东莞全国水生态文明试点城市建设有力推进，东莞水乡特色发展省级经济区建设启动，全国中小河流治理重点县综合整治及水系连通试点建设启动实施。《珠江三角洲河涌整治与修复规划》经省政府批准实施，跨界河流综合整治加快，计划 2030年前投入856亿元完成169条主要河涌整治。

综上所述，定理1证毕.

成立，则系统（2）满足初始条件（3）的任意正解

进一步引入下面常数

定理2 除了定理1假设条件外，进一步假设

（H）ri（k）是定义在 N 上的有界序列，

“智能”已成为机械加工技术的主要发展方向之一，智能加工是智能制造的重要基础支撑，而加工单元的智能化是智能加工技术的核心内容。随着各主要工业大国对智能制造技术的重视，对智能加工技术的研究也呈现出快速增长态势。从学术论文的发表数量上看，中文文献显著增长的时间出现在近5年，比英文文献的快速增长时间大约滞后10年左右。智能加工中，需要对机床、刀具以及工件的状态进行监测，从而实现整体加工过程最优。其中，视觉技术可以发挥重要作用，具有广阔应用前景。

证明 首先证

2017年9月—2018年5月，选取哈尔滨医科大学第二临床医学院参加住院医师规范化培训的医学专硕研究生743名（2015级282人、2016级225人和2017级236人）。同时调查导师、轮转科室护士长和带教教师共210人。

根据系统（2）的生物背景，假设系统（2）的任意解（x1（k），x2（k），…，xn（k））T都满足如下初始条件

总而言之，路吉阿诺斯说得上是古希腊文明的一个“流氓鬼”，他那嘲讽的棘刺并未因了一千八百年之久远而钝挫，有着不以古而遂湮灭的生命伟力。他以洞悉一切的眼力、识见对所处时代的一切“虚妄”作出淋漓尽致的指斥与绝不妥协的批判，最大限度地驱除人们思想上的痼疾，重现真实。因此，路吉阿诺斯是他那个时代少有的唯理者，清醒者与批判者，被周作人誉称为古希腊的“殿军人物”。

因此，由引理5、引理6和系统（2）的第三个方程有

由条件 H7（i=3）运用引理 2、引理 5、引理 6 和（9）式，有

这表明 x3（k）是持久的.

证明 设 x（k）=（x1（k），x2（k），…，xn（k））T系统（2）满足初始条件(3)的任意正解.

由系统（2）有

至于《戏题江心寺僧房壁》诗中的史君是谁，邹先生说： “高圻祥先生认为是张九成，是一个新发现，是正确的。” 这显然是错误的！张九成是在绍兴二十六年(1156)正月，以左朝散郎复秘阁修撰知温州，同年十月，以表求去。⑨沈克成先生的《温州历史年表》则称：“是年(绍兴二十六年)，张九成辑成《南雁荡山图志》，此为平阳第一部山志。”

类似于上述证明可得

最后由系统（2）的第n-1个方程有

同理可证

综上所述可得

蒋大伟上了车，郑馨坐回后排。蒋大伟盯着后视镜里的郑馨，突然，他瞥见郑馨包上的一行小字，眼睛一亮，心里有了主意。蒋大伟拉上车窗帘，对郑馨说：把你那边的也拉上！郑馨紧张地：你想干嘛？蒋大伟命令道：我叫你把车窗帘都拉上！郑馨越发紧张地：告诉你，我就是死也不想让你占便宜！蒋大伟懵懂地：我占便宜？你不占我便宜就OK了，我占你便宜？郑馨看着他：那你叫我拉窗帘干什么？蒋大伟说：我要送你到兰江大桥，如果遇上警察盘问怎么办？你总不想让我把你要跳桥的事说出来吧？郑馨想了想，拉上了窗帘。

由上述过程可得xi（k）是持久的.

下面考虑 xn（k）的持久性.

对任意小的常数ε＞0由（10）式可得，存在一个正整数hi和mi使得对一切k≥hi有

由（8）式和（11）式以及系统（3）的第 n 个方程有

由ε的任意性，进一步有mi，

由条件 H8，运用引理 2和（12）式有

因此由上述过程可知xn（k）是持久的.

故定理2证毕.

参考文献:

[1]刘会民，刘兵，刘双.具有Holling IV型功能反应的三维顺环捕食者-食饵模型 [J].生物数学学报，2004，19（4）：445-452.

[2]杨进.具有Holling Type-IV型功能反应且周期系数的捕食-食饵系统的研究[J].鞍山科技大学学报（自然科学版），2004，27（1）：5-7.

[3]刘瑞娟.具有Holling IV型功能反应捕食者-食饵系统的概周期解[J].南京工程学院学报（自然科学版），2016，14（2）：35-40.

[4]杨斌，王静.具有Holling IV型功能反应的非自治三种群食物链模型的周期解[J].东北师大学报（自然科学版），2012，44（1）：10-15.

[5]Chen Fengde.Permanence and global stability of nonautonomous Lotaka-Volterra system with Predator-prey and deviating arguments[J].Appl Math.Comput，2006，173：1082-1100.

[6]Xu R,Chen L S,Hao F.Periodic solutions of A discrete-time Lotka-Volterra type food-chain model with delays[J].Appl.Math.Comput.,2005，171：91-103.