0 引言

由于传统灰色GM(1,1)模型是灰色模型的核心[1-2]实用范围受低增长近指数序列的局限.众多学者通过多种途径实现,对模型进行优化，有的人提出向前差商[x(1)(k)-x(1)(k-1)]和向后差商[x(1)(k+1)-x(1)(k-1)]的加权平均值λ[x(1)(k)-x(1)(k-1)]+(1-λ)[x(1)(k+1)-x(1)(k)]作为灰导数[3-4].证明了向前差商与向后差商作为灰导数白化值的合理性并且提出了求参数得新方法以及得到λ,a的具体表达式.穆勇[5]通过优化灰导数白化值，建立了无偏的GM(1,1)模型，并且给出了估计模型参数a的方法.有的通过不同方法先得到一个初始值a0，从而得到背景值λ0x(1)(k-1)+(1-λ0)x(1)(k),解出a1，反复迭代得到最优值a为止[6-7].

对于GM(1,1)模型而言无论是优化背景值，还是优化灰导数或者同时优化灰导数和背景值，都只能针对近指数序列提高精度，实际上只是将只适应低增长范围拓宽到高低增长都适应的范围，即突破低增长局限.而有的学者将适用范围从齐次指数序列扩展到了近似非齐次指数序列[8-9].如刘思峰[10]提出NDGM(1,1)模型：曾波[11]提出的DGM(1,1)直接模型：以及崔杰[12]的NGM(1,1,k)模型：他们都成功突破了近指数序列的局限将适用范围从近齐次直属序列拓广到近非齐次指数序列.无论是优化背景值、灰导数还是预测系数，都为了寻求更为恰当的a,b,c使得近非齐次指数序列的建模精度更高.高宁等[13]分析了传统背景值构造法对高增长序列拟合产生滞后误差的原因，提出了利用非齐次指数函数来构造GM(1,1)背景值的方法，其实质是通过优化背景值的方法来间接得到优化参数.党耀国等[14]对白化微分方程和参数无偏估计进行研究后，从灰导数和背景值两个角度对NGM(1,1，k)的基本形式进行优化，最后得到NGM(1,1，k)的两类无偏形式这也是间接优化了模型的参数从而达到优化模型的目的.

(2)平面破坏。边坡沿着节理、层面或断层面的其中一个结构面呈线形破坏，但下滑岩体的滑动力大于岩层的抗剪强度时，便会出现平面破坏。

目前很多求参数的方法都比较繁琐不便于计算.因此,为了寻求一种更为简便、快捷的求参数的方法，针对近似非齐次指数序列，推导了求模拟公式中发展系数的简易计算公式，给出了通过首尾两项作初始条件确定预测系数、平移常数的新方法.通过上述方法求得的参数互相结合即可得到新的模型.寻求到的新方法不仅要使得运算简便同时模型的精度也要有所提高.

1 参数估计新方法的公式推导

1.1 首尾初始条件共同确定预测系数c和平移常数b的方法

无论什么方式对非其次近指数序列灰色建模，在发展系数已完全确定的前提下，存在恰当的c0,d0使得平均相对误差最小

 

遗憾的是由于有绝对值的原因，此处c0,d0只有依靠编制程序进行非线性搜索，没有解析公式表达.下面本文提出应用一个首尾初始条件共同确定预测系数c和平移常数b的方法

该方法一般说来就可以通过代入两个初始条件确定参数c,d，比如通过

 

(1)

解出c,d.其公式如下:

 

(2)

由于系数矩阵行列式

≠0 ，i≠j，

所以二元一次方程组始终有唯一解c,d，从而方法可行.

1.1临床资料:选取2016年1月至2017年6月我院的肢体功能障碍脑梗死患者70例进行分析,共有男性68和女性52例,均是49至76岁患者,平均67.9±7.8岁;合并疾病:49例高血压、12例冠心病、10例呼吸系统疾病、6例糖尿病。所有患者均符合1995年全国第四届脑血管病学会制定的脑梗死诊断标准,排除合并认知障碍、精神病及有精神病家族史的患者。将患者分成对照组和观察组,使用不同护理方式,两组都有60例患者,其一般性资料对结果不产生影响。

从已知的n个数据中选取两个数据有种方法，于是可能有个不同的模型，本文建议选取i=1,j=n，因为其实选取任何两项都可以得到一组参数c,d.但是选取的方式不同得到模型的精度会有差异.本文选取第一项和最后一项的依据在于，取第一项可以保证模拟数据的第一项没有误差或者误差比其它模型更小，而取最后一项可以保证模拟数据的最后一项没有误差和误差很小并且保证模型的预测精度也会因为最后一项的选取而变高,并且经过笔者用这两个实例进行了验证，由于选取第一项数据得到的模型第一项没有误差或者误差很小，而参考文献第一项是存在较大误差的.但是参考文献数据都没有计算第一项误差，为了尊重参考文献数据和便于对比精度,在此都不计算第一项误差.在这样的情况下本文方法得到的模型最后的精度仍然都比参考模型高.为了保证模型模拟精度和预测精度因此笔者建议在一次累加具有两个参数时通过代入第一项和最后一项初始条件，即得

 

(3)

故称为首尾初始条件共同确定预测系数c和平移常数d的方法.

1.2 发展系数估计公式

本文发展系数a的首尾初始条件共同确定的模型：

15个肺结核病例CT检查均使用日本原装东芝Aquilion16排32层螺旋CT，患者取仰卧位，头先进的方式进入，让患者双臂上举抱头，扫描参数常规平扫为容积扫描，然后5mm肺窗、纵隔窗重建，扫描条件：120KV，自动毫安秒技术，尽量减少辐身剂量。

 

(4)

当然这里B(k)既有可能是原始灰色微分方程中的背景值x(1)(k) ，也有可能是基本灰色微分方程的背景值z(1)(k)，也有可能是优化后的某个优化后的新背景B(k)，甚至还有可能灰导数项不再是x(0)(k)而是某个优化后的灰导数.

本文直接将公式(1)中a,c,d待定，变形得到另外两种形式的预测公式

 

(5)

 

(6)

通过可以得到发展系数a为何值，利用已知序列逐项估计发展系数

k=3,…,n-1,n .

(7)

这些ak可能互不相同，拟选取恰当的a与这些ak整体最接近，其接近程度通过来衡量，即寻求恰当使得当时f(a)满足(a)，在f(a)中对a求偏导

 

(8)

故发展系数的表达式为

当然，今天的幸福生活也与人们付出的辛勤劳动密切相关。正如习近平爷爷所说：“中国人民自古就明白，世界上没有坐享其成的好事，要幸福就要奋斗。今天，中国人民拥有的一切，凝聚着中国人的聪明才智，浸透着中国人的辛勤汗水……”希望小朋友们都能明白这一点，并努力学好科学文化知识，为将来使我们的祖国继续一年更比一年好贡献力量做好准备。

 

(9)

1.3 模型具有白化指数、白化系数、白化平移常数重合性

无论对严格的齐次(d=0)或严格的非齐次(d≠0)指数序列x(0)(k)=ce-ak+d按公式(9)确定的满足

 

He等[46]采用界面处的切应力来表征疲劳强度，然后根据高周次界面疲劳强度作为涂层和基体结合强度的量度。

 

因此该模型无论是对严格的齐次指数序列还是对严格的非齐次指数序列都具有白化指数、白化系数、白化平移常数重合性，从而不难相信近似的的齐次指数序列还是对近似的非齐次指数序列都会具有较高的精度.

3 应用实例

以上确定系数a,b,d的方法，既可以自己配套组成一种新方法，也可以将本文确定发展系数的方法与已有的确定平移常数、预测系数的方法结合组成新方法，还可以将其他模型确定发展系数的方法与本文确定预测系数、平移常数的方法结合组成新方法，本文以两组实验数据为例展示之.

例 1[15] 实验数据采用北京地铁一号线2008年11月10日13:30-5:30四惠到四惠东路断面的客流量，采样时间是30min，原始数据分别为{1033,1105,1199,1330,1583,1882,2370，3310}，前6个数据建模.分别把传统GM(1,1)模型记为原GM(1,1)模型,文献[15]中实验1中的(以x(0)(1)为初始条件的NHGM(1,1,k)记为NHGM(1,1,k)模型，文献[15]中的优化初始条件的NHGM(1,1,k)和分别用上述模型的发展系数a与本文首尾初始条件共同确定预测系数c和平移常数b的方法结合形成的模型，对比结果如表1所示，其中，原GM(1,1)模型的模拟公式为：

 

NHGM(1,1,k)模型模拟公式为：

891.5786k-292.8447，

即

优化初始条件的NHGM(1,1,k)模型为：

891.5786k-292.8447，

即

当取时按公式(3)得到

NHGM(1,1,k)指数与首尾初始条件共同确定预测系数和平移常数相结合的新模型：

 

传统方法是先通过灰色微分方程x(0)(k)+aB(k)=b,求出a,b，然后通过代入初始条件确定预测系数与平移常数c,d，从而获得模拟预测公式

一起案件，开庭两次，这种情况不多见，但也绝不少见。但是两次庭审之间，时间跨度达一年之久的，着实不多。这约一年的时间里，李凌所做的就是不厌其烦地翻看卷宗和整理证据，李凌说：“那段时间，我每天就是躺在床上了，脑子里都在回想案情，一想到有什么错漏，我就马上爬起来看卷宗。”

k=1,2,…,n.

本文发展系数a的最小相对误差模型：

k=1,2,…,n

从表1看出，文献[15] 的NHGM(1,1,k)模型获得的优化模型已经大幅度缩小了误差，提高了建模精度，通过将“用(1)代入第一项”改为“追求各项误差平方和最小”获得的再优化NHGM(1,1,k)模型又再次缩小了误差.而无论是本文利用首尾值共同确定参数的方法与估计发展系数方法结合的全新模型还是只有其中之一加入更新的模型等三个都始终比已有的原始模型和两个优化模型精度更高.

这里有一个疑问有必要解释：既然优化NHGM(1,1,k)模型是在发展系数按NHGM(1,1,k)模型确定系数后追求各项误差平方和最小获得的参数，为什么会出现本文方法得到的结果更理想呢？因为优化NHGM(1,1,k)模型追求的目标是绝对误差误差平方和最小，而评价标准是平均相对误差小者为好，两者大部分情形相同，但确有不统一的情形，表1提供了不相同的实例.

例2 以文献[16]中江苏省1997—2004年的财政科技投入数据为原始数据(如表一所示)，用1998—2002年数据参与建模.其中分别将传统GM(1,1)模型记为原始GM(1,1)模型，文献[15]中实验2的(以x(0)(1)为初始条件的NHGM(1,1,k))记为模型NHGM(1,1,k)，分别用上述模型的发展系数a与本文方法1组合成的模型，对比结果如表2所示.

 

表1 实例为北京铁一号线的几种模型建模精度对比效果

  

序 号实际值(时间)原始GM(1,1)模型模似值相对误差/%NHGM(1,1,k)模型模似值相对误差/%优化NHGM(1,1,k)模型模似值相对误差/%NHGM(1,1,k)首尾共初模型模似值相对误差/%本文发展系数a的首尾共初模型模似值相对误差/%本文发展系数a的最小相对误差模型模似值相对误差/%11033909.1311.9910330.001045.81.241033.00.001045.81.241033.00.00211051046.595.291096.40.781102.40.231100.80.381102.40.231100.80.38311991204.830.491192.90.511201.90.241200.70.141201.90.241200.70.14413301386.994.281335.10.381348.21.371347.61.321348.21.371347.61.32515831596.690.861544.22.451563.61.221563.81.211563.61.221563.81.21618821838.112.331852.11.591880.50.081882.001880.50.081882.00平均相对误差(%)4.210.950.730.510.680.65

注：其中NHGM(1,1,k)和优化初始条件的NHGM(1,1,k)模型都来源于文献[15]实验1的表1，其余来自作者据公式计算.(这下面是表1对比分析)

 

表2 实例为财政科技收入的几种模型建模精度对比效果

  

序 号实际值(时间)原始GM(1,1)模型模似值相对误差/%原始GM(1,1)与本文首尾共初结合模型模似值相对误差/%NHGM(1,1,k)模型模似值相对误差/%NHGM(1,1,k)与本文首尾共初结合模型模似值相对误差/%本文发展系数与本文首尾共初结合模型模似值相对误差/%本文发展系数的最小相对误差模型模似值相对误差/%19978.21—(实为8.85)—(实为7.80)7.795.12—(实为8.35)—(实为1.71)8.2108.2108.21019989.5210.49.249.183.579.332.001.161.059.332.009.272.63199910.5112.2916.9410.822.9510.812.853.623.9010.812.8510.651.33200012.7214.4813.8412.750.2412.650.5500.4712.650.5512.452.12200114.8417.0715.0315.031.2814.910.470.941.4814.910.4714.810.20200217.8920.1212.4717.711.0117.720.950.67017.720.9517.890平均相对误差(%)11.25(实为12.55)2.361.14(实为1.42)1.051.151.07

注：上表中除组合模型模拟值及相对误差数据来源于作者计算外，其余都来源于参考文献的计算,其中原始模型来源于文献[16],NHGM(1,1，k)模型的数据都来源于文献[15]实验2的表3.

原始GM(1,1)模型为：

国有水利工程农业供水成本费用为执行价与作物种植面积的乘积。斗口农业供水量为水田斗口农业供水量和旱地斗口农业供水量之和，斗口水田毛灌溉定额为361 m3/亩（采用中稻和油菜轮种的毛灌溉定额多年平均值），斗口旱地毛灌溉定额为79 m3/亩（采用棉花的毛灌溉定额多年平均值）。根据计算公式，桃花山镇农民用水者协会国有水利工程水价为0.021元/m3，调关镇和东升镇农民用水者协会国有水利工程水价为0.020元/m3。

 

本文发展系数a的最小相对误差模型：

学习和生活是不可分割的，我们的写作也离不开生活，要想真正了解事物，我们必须融入生活，在实践中细心观察。

原始GM(1,1)首尾初始条件共同确定的模型：

单是酒单维护就已经足够挑战，“维护一个好酒单非常难，要花很多心思，侍酒师有权去加酒或者减酒，但是哪些酒可以加，哪些酒不可以加，哪些年份不想要等，都需要花很多时间精力去衡量”。

 

NHGM(1,1,k)的模型为：

 

即

NHGM(1,1,k)的首尾初始条件共同确定的模型：

参考文献:

 

本文发展系数a的首尾初始条件共同确定的模型：

 

即

 

4 讨论

(1)很多人都认为传统模型模拟公式既然令了第一项就没有误差，其实这只保证了一次累加序列第一项没有误差，并不表示原序列模拟公式没有误差.因为只适合k=2,3,…,n，从来没有正面回答当k=1时,第一项究竟是多少.但从另一个角度看,既然获得了关于k的通项公式令k=1即得模拟第一项是否就如大家默认的(1)呢？以例2中的NHGM(1,1,k)的模型为例进行验证，在还原模拟式中取k=1可得结果表明(1)=8.21,也就是第一项是客观上存在误差的.而例2中前三个模型的NHGM(1,1,k)的模型没有计算第一项误差，表面上看比本文发展系数的首尾共初模型精度高一点.若把第一项误差一起纳入再计算NHGM(1,1,k)的模型的平均相对误差，它的相对误差就从1.14变为1.42.然而根据本文模型的求法知,第一项是真正没有误差的，所以本文模型平均相对误差仍然为1.15精度要高于NHGM(1,1,k)的模型，为了尊重参考文献数据和便于对比精度在此都不计算第一项误差.

(2)由于传统GM(1,1)模型模拟预测公式除了发展系数外仅有一个参数,而首尾共初适宜确定两个参数.因此,建议在一次累加具有两个参数时通过代入初始条件来确定其余参数.

无论是对原始GM(1,1)模型,还是相对NHGM(1,1,k)优化模型，还是本文简单估计发展系数,用首尾两项共同决定出预测系数后的新模型都较大幅度缩小了平均误差.

5 结论

本文首先给出了近非齐次指数灰色预测模拟公式中发展系数的简易求解方法，在发展系数已定的情况下通过首尾两项已知值确定预测系数和平移常数，直接估算发展系数的简易方法既可以与本文的通过首尾项作初始条件确定预测系数和平移常数方法结合形成一个全新模型，也可以于通过平均相对误差最小为目标来确定预测系数和平移常数方法得到改进的新模型，实例表明此方法对传统模型和优化后的新模型都有效.

1 文献总体情况 共检索到符合纳入标准的文献19篇，其中个例报道17篇[3-19]，共18例患者，临床研究2篇[20，21]共16例患者。17篇个例报道中，中文文献3篇共3例患者，英文文献12篇、西班牙文文献2篇，共15例患者。2项临床研究均为英文文献，一项为回顾性临床研究共8例患者[20]，另一项为随机对照临床试验共8例患者[21]。患者涉及15个国家，其中新西兰16例，中国3例，澳大利亚3例，美国、阿根廷、巴西、法国、韩国、加拿大、黎巴嫩、墨西哥、瑞士、土耳其、意大利、印度各1例。

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采用多元线性回归的方法利用stata软件分析“营改增”对生产性服务业上市公司总税负与盈利能力的影响，根据前文所确定的被解释变量、解释变量与控制变量，建立多元线性回归模型如下：

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施工完成后EPDM面层图案清晰无接缝、色彩艳丽，图案形象生动逼真，艺术效果强，且工艺简单，维修方便。与地面花岗岩石材相比，可提高工效缩短工期，节约成本。且维护方便，无毒无味，低碳环保，是一种优异的绿色环保型建筑产品，特别适用于幼儿园、学校、塑胶跑道、球场等体育运动场地。

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