0 引言

人教A版教材必修1(以下简称教材)中函数定义[1]：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域．这个定义是判断一个数学对象是不是函数的标准与依据．

汇率的高低反映一国宏观经济运行的基本状况，不同汇率制度下的汇率波动也会对宏观经济变量产生不同的响应。因此，汇率制度的选择与改革对宏观经济发展有着重要影响。

教材中的映射定义[1]：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

从函数和映射的定义可以看出，函数中的A、B是非空的数集，映射中的两个集合A、B一般是非空的“数量”集合，本文以下简称为数量集．需要注意的是，“数量”和“数”的概念既有区别又有联系．一般把计量(度量或测量)物体的长短、容积、轻重等所得到的结果叫做“数量”，显然，“数量”是带有计量单位的数，即“数量”=“数”+“计量的单位”，“数量”通常与实际背景(意义)有关．“数”可以看成是“数量”的抽象，就是将“数量”中的“计量的单位”舍弃(丢掉)后剩下的就只有“数”了，“数”与任何实际背景(意义)无关，具有高度的抽象性．从抽象性的角度看，“数”比“数量”抽象，从而，数集比数量集抽象．因此，在这里，函数定义比映射定义抽象．

1 人教A版函数定义的引例

引例1 一枚导弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高(射高是指斜抛运动中，物体飞行轨迹最高点的高度．)为845m．且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h=130t-5t2(*)．

导弹飞行时间t的变化范围是数集A={t0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h0≤h≤845}．从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系(*)，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应[1]．

615 Quality of life of inpatients with lung cancer and related influencing factors

注意：函数这种特殊对应关系的本质是，自变量在定义域中的每一个值都对应并且只对应一个函数值，即自变量在定义域中的每一个值都有且只有一个函数值，亦即定义域中的每一个数都有且只有一个函数值．利用这一本质，就容易判断一个数学对象是不是函数了．

引例1是有物理背景的问题，学生要想较好的理解这个问题，数学教师不得不补充物理学相应知识，如对斜抛运动，水平方向上是匀速直线运动，竖直方向上是竖直上抛运动，以及初速度、受力情况、加速度等．这显然不应该是数学教师的教学任务．美国著名数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条审美原则[2]：(1)容易接受；(2)有多种解题方法；(3)蕴涵了重要的数学思想；(4)不故意设陷阱；(5)可以进一步开展研究和一般化．教材的做法违背了“容易接受”原则．

纳杉等[2]的调查表明，用数学的符号语言来处理概念比将这些概念嵌入实际的背景更容易使学生理解和掌握．这一研究结果给非常喜欢用实际背景材料引入概念的教师泼了一瓢冷水．数学本质上是一门形式化的科学，因此，很多优秀教师非常喜欢用数学自身的内部矛盾引出概念，这样做往往显得单刀直入，直奔主题，节约时间．当然，应提倡用实际背景材料引出概念，但要注意材料的简单性、科学性、适切性和启发性等．

3.遵守契约。绿色矿山建设、边开发边治理，矿山防尘防治等是纳入采矿权出让合同的重要内容，做不好不仅违反相关规定，也违背了契约精神，是不诚信的表现。管理部门要纳入信用系统进行信用管理，严重者可部门联合惩戒。

  

图1 南极臭氧层空洞的面积

根据图1中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A={t1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S0≤S≤26},并且对于数集A中的每一个时刻t,按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应[1]．

在图2中，对应关系f1的本质是“求平方”，即对集合A中的每一个数m,集合B中都有一个平方数m2和它对应．

电阻率值为2.64～12.14 Ωm，声波时差为280.50～397.45 μs/m。从电测曲线来看，深层电阻率值整体先逐渐降低，在1338.5 m达到最低，之后逐渐上升。

引例2中以化学问题为背景，致使师生需使用数学课的时间补充化学知识，如对臭氧的概念，臭氧层空洞现象等需要花时间进行解释说明．这真有点儿“不务正业”．本题的设置可能有培养学生环保意识之良好意图，但很多一线教师抱怨，此题若不用多媒体自己画图既画不准又耽搁时间，学生从此例的学习更多地感受到学习数学的艰辛与困难．

引例3 国际上常用恩格尔系数(恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额．)反映一个国家人民生活质量的高低.恩格尔系数越低，生活质量越高．表1中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

请你仿照引例1和引例2描述表1中恩格尔系数和时间(年)的关系[1]．

问题探析：因为集合A中的元素是年份，集合B中的元素是恩格尔系数，即引例3中集合A、B中的元素均为数量，而非实数．故引例3是映射，但不是函数．

 

表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

  

年/份19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数%53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

引例3中以社会学和经济学问题为背景，教师需介绍恩格尔系数相关的概念、公式，然后予以分析和解释．

关于这三个引例的问题，一些教师做了研究．如殷玉波[3]认为，教材中这些例子有三个缺点：一是与学生的实际生活距离太远，不利于学生进行分析、归纳；二是所举例子都是正例，缺少反例；三是“值域是集合B的子集”在几个实例中没有体现，可能使学生对于值域是集合B的子集的出现感到茫然．这是值得注意的．研究者认为，还需注意下面几个问题：

第一，教材中三个引例都满足映射的定义，引例1是从时间集合到高度集合的映射；引例2是从时间集合到面积集合的映射；引例3是从年份集合到恩格尔系数集合的映射.但这三个例子中的两个集合都不满足函数的定义．教材对这三个例子的分析，混淆了“数量”和“数”的概念，把数量集直接当成数集，从而把映射当成函数．在教学中，应展示从“数量集”到“数集”的抽象过程，从而，展示映射到函数的抽象过程．对此，研究者建议，先讲映射，然后在映射的基础上再抽象出函数．

第二，三个引例的背景比较复杂，既会加大学生理解的难度，又会浪费时间．引例1含有物理学背景，离学生的知识经验看似较近，但很多高中学生对物理学比数学更害怕，高一学生此时还未学习斜抛运动，学生对斜抛运动的理解并不容易，特别是对物理学得比较差的学生来说更是雪上加霜．引例2和引例3远离学生的学习生活实践经验，教师要先讲臭氧层、恩格尔系数相关的知识，然后讲它们是映射，最后还需将映射抽象为函数．一些学生可能会对斜抛运动、臭氧层、恩格尔系数引起无意注意，就像无心插柳，这会冲淡对函数定义本身的学习．

1.3.1 肠道清洁程度判定［2］ 由检查医师在检查过程中进行观察，按其清洁程度分为Ⅳ级。Ⅰ级:肠道准备满意，肠腔无粪便残渣，无粪水潴留，肠液清亮，操作顺利并观察良好;Ⅱ级:肠道准备比较满意，肠腔无粪便残渣，肠腔有污浊粪水，操作比较顺利，观察基本清晰;Ⅲ级:肠道准备不满意，肠壁黏附较多粪便或储积较多粪便液体，视野模糊，影响肠壁观察，但经过冲洗之后还能进行观察;Ⅳ级:肠腔有粪便残渣或粪块，操作不顺利，甚至因肠道准备不足而被迫终止检查。Ⅰ级和Ⅱ级视为满意即有效，Ⅲ级和Ⅳ级视为不满意即无效。

第三，教材编写者设计三个引例的意图是，将函数的三种常用表示方法包括解析法(解析式)、图象法、列表法全部介绍给学生，期望学生对函数的表示方法有比较全面的认识，希望学生今后会根据不同问题灵活地选择表示函数的方法．这些愿望当然是美好的，但一节课能把三个引例的背景知识弄清楚就很不错了,这种可称为“打批发”式的教学方法，不符合学生的认知规律．需要指出的是，学生今后学习高等数学，比如求函数值、极限、求导数、求微分、求定积分等，用得最多是函数的解析式.图象法是研究函数性质和运用数形结合思想解决问题的重要基础，所以图象法也用得较多；表格法对理解函数的对应关系具有较强的直观性，在画函数图象时也不可缺少，但在高等数学的学习中表格法用的相对较少．关于理解函数的对应关系最直观的方法并不是表格法，如财会人员每天可能会看到或接触许多财务报表(表格)，但他们可能并未感悟到表格中存在映射或函数关系，因为这些表格中没有箭头，没有箭头未必会想到对应关系．函数的对应关系最直观的表示方法是用两个圈表示两个集合，将集合中的数写在圈内，两个圈中的数用箭头连接起来．大家知道，打仗常用各个击破之法打败对手，教学亦可用各个击破之法突破教学难点.建议，引入函数定义的第一节课宜以最重要的解析式为重点进行分析，图象法和表格法可安排在后续的课中，这样做可减轻第一节课因教学内容太多太难的压力．

第四，工作记忆是大脑加工信息的平台，也是加工新知识的平台．工作记忆对新知识的加工，就是对构成新知识的各个组块的加工[4]．成年人的工作记忆容量大约为(7±2),即5～9个组块．本节课涉及几个不熟悉的非数学学科的背景知识，也涉及到大量抽象难懂的新概念和新符号，又涉及复杂难画的图像，还涉及数据繁杂的表格，如果将这么多新信息在40 min内全部输入学生大脑，学生的大脑能够正常工作吗？曾见过大学本科三年级的一些学生在试讲本课题时，对教材的认识、知识的理解、内容的处理等存在不少问题，甚至还有一些知识性错误．这也从一个侧面说明，本节课难教难学，建议在修订教材时改写或重写．

应用场景压缩和计及电压调节策略的光伏接入规划//杨书强,郭力,刘娇扬,赵宗政,潘静,荣秀婷//(15):31

2 高中函数定义引入的教学建议

2.1 由数学运算引出函数定义

由于过分强调所谓数学的“生活化”而出现了“去数学化”的现象．著名数学教育家张奠宙指出：“数学教育自然是以‘数学’内容为核心．数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学’为依归．教育手段必须为数学内容服务．”他认为数学教学设计的核心是如何体现“数学的本质”“精中求简”“返璞归真”[5]．戴维·奥苏贝尔提出了有意义的接受学习理论，该理论的核心思想是，有意义的学习是基于个体已有知识经验的学习，同化是意义学习的心理机制[6]．同化学习是最经济的学习方式，这里的最经济包括最节省时间、学生最容易接受、最可能实现意义建构等．学生已有知识经验是概念同化学习的必要条件，从而也是数学概念有意义学习的必要条件．因此，创造学生同化学习的条件是高效教学的关键，这里的条件包括激发同化动机、提供典型案例、积累知识经验、呈现直观图表等．根据张奠宙的“数学教育以‘数学’内容为核心”，以及奥苏贝尔有意义接受学习理论，可以用学生熟悉的数学知识作为素材来设计引入函数的实例．比如，以初中已学过的二次函数、反比例函数，高中已学过的数集的概念和符号，采用对应的观点，从学生非常熟悉的数学运算如求平方、取倒数等引出函数定义．这能体现“数学的本质”、“返璞归真”，也有利于同化学习．

案例1：考察两个数集A、B的元素之间的3个对应关系f1,f2,f3,如图2-4．

  

图2

  

图3

  

图4

问题探析：由于集合A中的元素是时间，集合B中的元素是面积，即引例2中集合A、B中的元素都表示有实际意义的数量，而非实数．比如，集合A中“2001年”对应集合B中的“26s/Tm2”，它们是数量之间的对应，而非实数之间的对应．故引例2是映射，但不是函数．

在图3中，对应关系f2的本质是“求倒数”，即对集合A中的每一个数x(x≠0)，集合B中都有一个数和它对应．

不满足函数定义中“对于集合A中任意一个数，……”的要求，即“A中的数具有任意性”的要求，故对应关系g不是函数．

有这么一个单词，看上去跟我意思相反，但是如果把我们放在一起，却是个绝佳搭配。你能帮我找到这个词吗？把它填到横线上吧。我们放在一起又是什么意思呢？选一选，把对应的中文写在方框里。

函数定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使A中的每一个数都对应着B中唯一确定的数，那么就称f:A→B为一个函数，记作y=fx,x∈A．其中，x叫做自变量，A叫做函数的定义域；与x的值相对应的值f(x)叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

通过观察，发现图2中三个对应关系都有如下共同特点：对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一的数和它对应．在数学中象这样的对应关系就称为函数．紧接着给出函数的定义．

问题探析：教材混淆了“数量”和“数”的概念，直接把“数量”当成了“数”，忽略了从“数量”到“数”的抽象过程．引例1中的时间和高度都是数量，导弹飞行时间t的变化范围和炮弹距地面的高度h的变化范围都是由具有实际意义的“数量”所构成的集合，即是说A、B都是数量集．也就是说，集合A、B中的元素均为具有实际意义的数量，而非实数．函数定义要求“A、B是非空的数集”，在中学A、B应是实数集的非空子集．此例中从集合A到集合B的对应，实质上是时间数量到高度数量的对应.例如，集合A中“1s”对应集合B中的“125 m”，即f：1 s→125 m，这显然不是实数到实数的对应．这就不满足函数定义中“A、B是非空的数集”的要求．故引例1是映射，但不是函数．

当时，王莽已属耆年之人。为了掩饰其衰老的形象和岌岌可危的心态，王莽特地把头发和胡须都染黑了，《汉书·王莽传》称他是“欲外视自安，乃染其须发”。然而，这一切都是徒劳，大婚和染发没能挽回王莽的败局，仅仅半年多光景，绿林军便攻入京城长安，王莽死于乱军中，存活了十五年的新莽政权败亡。

案例1从正面引出了函数定义，为加深对定义的理解，还需要用反例强化．

案例2 设 x≥0,请判断y是否为x的函数？

取x=1,则y=±1,此时对应关系为1→±1,这不满足函数定义中“在集合B中都有唯一确定的数与之对应”的要求，这实际上是破坏了定义中“B中的数具有唯一性”的要求，故y不是x的函数．

高血压脑出血是神经外科常见的疾病,随着CT和MRI等影像学技术的广泛应用,高血压脑出血的诊断率得到了提高,并且能够精确定位和定量,因此高血压脑出血的外科治疗越来越普遍。高血压脑出血它具有病死率高、预后差的特点,严重影响着患者的生活质量以及生命安全。探讨预后因素对降低死亡率、提高患者的生活质量具有重要意义。在这项研究目的在于探讨高血压脑出血患者的预后,而提高高血压脑出血患者生存质量和生存质量。下面是对我院2012年1月—2017年12月诊治的350例高血压脑出血外科手术治疗的患者进行回顾性分析而做出的报告:

案例3 如图5，对应关系g是函数吗？

在图4中，对应关系f3的本质是都对应同一个“常数”，即对集合A中的每一个实数x(x∈R)，集合B中都有一个常数2和它对应，即A中的每一个数x都对应2．

引例2 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．

经计算，研究区内黑云母二长花岗岩岩石生热率估算为3.23～12.34 μW/m2，平均值5.24 μW/m2，除孔深600 m处岩石生热率突变外，整体上比较稳定，处于3.23～5.18 μW/m2，见图2，其中U、Th和40K放射性产热分别占岩石生热率的30.84%、59.68%、9.48%，说明岩石生热率主要依靠铀钍贡献，钾贡献率较小，研究区岩石生热率高于世界范围内花岗岩放射性生热率平均值2.5 μW/m2，为高产热花岗岩(HHP)。

案例2、3从反面强调了A中的数具有任意性(即A就是定义域)，在B中与之相对应的数具有存在性和唯一性，这两个反例对定义理解的强化作用是明显的．

  

图5

2.2 由映射引出函数定义

在高中函数教学中有两种教学策略：一是先讲映射后讲函数;二是先讲函数后讲映射．研究者从数学科学和教学经验等角度，论证了先讲映射后讲函数的教学策略更好一些[7]．也就是说，从映射引出函数的定义是比较好的教学策略．事实上，人教A版函数定义的三个引例本质上都是映射，这也从一个侧面说明先讲映射后讲函数更好．当然，讲映射的例子需不需要象人教A版函数定义的三个引例这么繁难，这是需要思考的．

参考文献：

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学教学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版 [M].北京：人民教育出版社，2004：15-16.

[2] 鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程 [M]. 上海：上海教育出版社，2009.

第二，消极接受，不具备改变自身处境的强烈意愿。二姐明白自己的爱情渴望，也对传统婚姻形态表现出明确的抗拒，但她从未想过走出大山、接收新世界的信息，哪怕这可能会改变她的命运。

[3] 殷玉波. 高中数学人教A版“函数的概念”教材研读 [J]. (人大复印)高中数学教与学,2014(11):35-37.

[4] 赵思林. “对数”定义难学的心理分析 [J]. 数学教育学报,2012,21(6)：77-81.

[5] 张奠宙, 赵小平. 当心“去数学化” [J]. 数学教学, 2005(6):50-50.

[6] Miller G A.The Magieal Number Seven，Plus or Minus Two:Some Iimits on Our Capacity for ProeessingInformation [J]. Psychologieal Review,1956,63(2)：81-97.

演讲、小组讨论、角色扮演、访问、实地考察、辩论、做调查/调研、小研究、个案分析、自学、研习小组、做实验

[7] 赵思林，徐小琴，王佩. 映射和函数的教学顺序探讨 [J]. 内江师范学院学报,2017,32(8)：18-20.