数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去判定另一命题的真实性的推理过程．数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定义、定理、公式、性质等数学命题来论证某一命题的推理过程．数学证明是一种演绎推理.演绎推理主要包括三段论推理和复合推理．数学证明是培养逻辑思维和追求理性精神的重要途径．数学创造也离不开数学证明．事实上，证明思路的探索与顿悟、证明方法的选择与创造、证明过程的构想与优化、证明成果的总结与交流等，这些都离不开创造性思维．历史上，很多数学家在探索和研究一些著名猜想的证明过程中，创造了很多新思想、新方法，取得了辉煌的数学成就．例如，研究费尔马大定理的证明，莱布尼茨、欧拉、勒让德、高斯、狄利克雷、库麦等都曾证明了部分结论,外尔斯在1993年彻底解决了这个困扰数学家356年的著名猜想，并获得了菲尔兹奖[1]．由于古希腊数学家强调严密的推理，他们关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，激发人们对理想和美的追求．所以，古希腊创造了后世很难超越的优美文学，理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻．中国古代数学崇尚实用，最大的缺点是缺少严格求证的思想[2]．这也就不难理解为什么古代中国缺乏理性思维了，不难解释“李约瑟难题”：近代自然科学为何不发生在中国？其实，问题的症结在数学．因为，“数学和各种科学假说的数学化已经成为近代科学的脊梁骨”[2]．由此易知，过分重视实用主义技术而轻视理论研究、重定性研究方法轻定量研究方法,对科学的发展和创造是不利的．

在美国，数学推理与证明曾在学校数学教育中受过冷落.在2000年后，它又被放到了数学课程的中心地位[3]．美国现在的推理与证明又回到“中心地位”．但中国进入21世纪的数学课程改革对数学证明的要求却大大降低，学生的演绎推理能力显著下降，遭到中国数学家和部分中学教师的批评：削弱平面几何的演绎体系，降低中学数学教育的水准，与我国教育发展方向背道而驰；数学贴近生活不能过头，几何学很多问题是理性思维的问题，并不与生活有多大联系；新课程忽视演绎推理，把证明都改成说理，不能只看一看、量一量就算得到了真理，老是量，就退到古非洲的尼罗河时代去了；培养理性思维需要有载体，几何是最好的载体，课标说要讲什么是证明，却只能讲八组命题，培养几何的推理能力需要学生‘做’推理，光讲什么是命题、什么是推理、什么是证明是学不会的；几何学是一个体系，肢解成一段段的知识是不行的，减轻负担要精中求简，不能随意砍掉[4-6]．这些意见虽然可能有点尖锐，但比较切中课改时弊，应认真分析和研究．

对于数学证明的教学有以下建议：数学证明的教学应重视数学家的意见;数学证明的教育可以借鉴匈牙利经验;“数学教学应当是以演绎为主、归纳为辅”;数学证明的教学应坚持分层要求的原则;应加强对数学证明方法的教学．

1 数学证明的教学应重视数学家的意见

数学家历来重视数学证明和数学证明的教学．

数学大师陈省身先生在回答马婷婷关于“中国的数学应该怎样发展”的提问时说，要对学生进行基本训练，“一方面要培养他们的推理能力，让他们知道什么是正确的推理，什么是不正确的推理．另一方面要让他们对数学有感觉”[7]．在陈省身先生看来，数学的基本训练是推理的训练，包括演绎推理、合情推理的训练．数学中大量的计算公式(运算法则)一般也需要经历“合情推理(猜)——演绎推理(证)——灵活应用(用)”，即“猜出来——证出来——用起来”等过程．

[5] 马海燕. 初中生几何证明理解度的调查研究 [D]. 长春：东北师范大学, 2007.

杨乐院士对大幅度地消减平面几何内容颇感担心，他认为：平面几何的内容，对培养学生严谨推理的能力，直观想象的能力，分析问题的能力，有不可取代的作用．……我认为并不能大幅度地消减平面几何的内容．……现在有的学校、有的教材把平面几何去掉以后，培养出来的学生不知道什么是严谨的推理，也不知道什么是证明，你要让他证明一个题目，他实际上并不了解是什么意思，这样是不行的[13].

再回到本文描述的这种列车网络通信故障，由图3可以看出，线路噪声在主帧结束后约0.7 μs后才降低到了200 mv以下，因此，对于RPT来说T_LI时间只剩下不到1 μs，远小于T_ST时间。至此，本文所描述的这种特定工况下的列车网络通信故障的原因已经找到。

2001年，田刚院士应人民教育出版社中学数学室邀请在谈数学教育的有关问题时指出：“数学主要是计算与推理，从数学中能学到的，最重要的是逻辑思维，抽象化的方法，这是一些普遍有用的东西；数学教育中逻辑思维能力的培养要加强，就应用而言，目前的信息技术中就非常需要很强的逻辑思维能力，……技术能对直观地把握数学有一定的帮助，不过真正重要、有用的还是用逻辑推导公式；数学教育要教一些基本的东西．”[14]数学主要是计算与推理，数学中“真正重要、有用的是用逻辑推导公式”，这里的公式更广泛地讲是数学命题．因此，数学命题(包括定理、公式、性质、推论等)的发现、证明、应用、推广等应作为数学教学的重要任务.因为数学命题是支撑数学大厦的脊梁，而数学大厦脊梁的稳定性、科学性、系统性等必须考逻辑推理来保证．

所有数学家都重视数学证明．几乎所有数学家在证明数学著名猜想时都吃过苦头、受过挫折、经历失败、取得成果.他们对数学证明的酸甜苦辣比一般人品尝得更多，对数学证明的认识和体会比普通人会更深刻、更全面.他们在花费十年甚至几十年乃至一生都不能严格证明一个著名数学猜想时，内心深处可能也会憎恨或讨厌数学证明，但他们对数学证明一般仍会一往情深，这就是数学家特有的数学品质，即不怕挫折，不惧失败，长期思考与探索，顽强拼搏与坚持，敢于突破与创新．前辈数学家的探索与失败往往是宝贵的数学财富，比如，没有阿贝尔研究五次方程求根公式的失败，就不会有伽罗华创立群论的成功.正是由于一代一代数学家前辈的失败才孕育后辈数学家的成功．因此，数学家对数学证明是最有发言权的，数学学科专家和一线教师都应该重视数学家对数学证明的教学意见．

[7] 马婷婷. 四院土评说中国数字 [N]. 中国青年报，2002-08-26.

1.3.2 卵巢子宫内膜异位囊肿 子宫内膜异位症(endometriosis，EMT)是常见于育龄期女性的妇科疾病，主要症状为盆腔疼痛、不孕、性交不适、月经异常。在不孕女性中EMT的发病率为20%～50%[50]。卵巢是最易被异位内膜侵犯的脏器，病灶使卵巢与邻近组织紧密粘连，严重时可影响排卵，若病灶破坏卵巢实质则会影响卵子生成；异位内膜累及输卵管较少见，但广泛而致密的粘连可使输卵管结构及功能受到严重影响，使输卵管蠕动受阻，影响伞端拾卵及受精卵的运输。

2 数学证明的教育可以借鉴匈牙利经验

郑庆全认为：“数学证明学习的重要内容之一就是要学习数学证明的方法，……有许多证明的方法值得学习．除了由代数中体现出来的大多算法化证明和几何中所体现出来的逻辑演绎证明之外，还有反证法、同一法、举反例法等值得学习．”[24]数学归纳法由于是证明数学中很多定理(公式，性质等)的基本工具，因此应要求高中学生把它掌握好．学习数学归纳法还应让学生感受到数学智慧的力量，那就是将本来需要无穷多次三段论推理才能完成的证明转化为两步(即奠基，递推)就能完成的工作．反证法不仅是数学证明方法中最精良的武器，而且是培养学生逆向思维的好方法，初中学生学一点反证法既有益又可行．数学证明的分析法其核心思想是“执果索因”，也就是每一步都去找使该步命题成立的充分条件，这个方法对培养学生分析问题能力和逆向思维能力都是极其有用的，很可惜的是现行新课标教材已大大降低了分析法的教学要求．

3 数学教学应当是以演绎为主、归纳为辅

归纳和演绎是相互联系、互为补充的两种方向相反的逻辑推理方法．归纳推理简称归纳法或归纳，它是从特殊到一般的推理.归纳侧重于发现问题(结论)、提出猜想，归纳出来的东西需要严格的论证．演绎推理简称演绎法或演绎，它是从一般到特殊的推理,是严格的推理.演绎侧重于对结论或猜想的证明．一般认为，归纳比演绎要容易一些，演绎推理含数学证明往往有很高的难度．以哥德巴赫猜想为例，哥德巴赫猜想的提出花费的时间可能是几年或几个月或几天，但这个猜想的严格证明已过了260多年，至今仍没有攻克，即便当今最伟大的数论专家对哥德巴赫猜想的证明也是望而生畏、望猜想而兴叹．一个数学家可以在100天内提出多个猜想，但要证明其中某个猜想可能需要几年或几十年甚至是几百年的时间．数学研究要勇敢面对难题，知难而研(究)．数学教学要勇敢面对难题，知难而教，知难而学．当然，面对数学中比较难的内容，需要安排较多的时间和一定数量的练习．因此，喻平教授建议：“数学教学应当是以演绎为主、归纳为辅．”[21]通过归纳推理，人们可以获得一般结论甚至可能发现真理．通过演绎推理和数学证明，人们需要靠一步一步地计算与推理，并且每一步都必须有根有据、符合逻辑规则，这对培养人的诚实正直、以理服人、知错就改等优良品格是有益的．因此,数学教学既要教归纳和猜想，更要教演绎推理和数学证明．

4 数学证明的教学应坚持分层要求的原则

按照van Hiele[22]提出的几何思维发展理论，学生的几何思维可以分成5个水平[23]．水平0(直观),水平1(分析)，水平2(抽象)，水平3(演绎)，水平4(严格)．依此理论，小学生学习几何的目标可定位在水平0(直观)，个别基础好的学生可定位在水平l(分析)；初中学生学习几何的目标可定位在水平l(分析)和水平2(抽象)上，少数基础好的学生可定位在水平3(演绎)，但应控制难度；高中学生学习几何的目标可定位在水平3(演绎)，少数基础好的学生可定位在水平4(严格)，但应控制难度．学生的几何思维发展水平应随着年龄的增长而不断提高，但对全体学生来说，从水平0(直观)，经水平l(分析)、水平2(抽象)、水平3(演绎)，最后到水平4(严格)的人数可能会呈现出金字塔的情况．因此，数学证明的教学对全体学生来说，虽然能够同时出发,但不一定能够同时到达同一目标，不能齐步走.因为每个人理解数学证明花的时间不一样，可以是同时出发并且可以在不同时间到达各自的目标(因为每个人的目标不一样，理解和掌握数学证明的速度也不一样)，应坚持分层要求的原则．

5 加强对数学证明方法的教学

仅有1 000万人口的匈牙利的数学基础教育在国际上是很领先的.以1959—2012年国际数学奥林匹克竞赛成绩为例，匈牙利共获得77枚金牌，居金牌榜第4位[15]，可谓战果辉煌.该国是没有举办奥赛培训班进行强化训练的真正的数学竞赛强国．20世纪末，匈牙利国内学者重新强调教证明的意义，呼吁要加强对学生的数学推理能力的培养．由于课堂证明过程被认为太费时间，加上人们逐渐认识到数学建模和数学应用的重要性，因此世界各国普遍降低和削弱了对数学证明的要求[16]．匈牙利课程改革专家担心降低和削弱数学证明要求带来的不良影响，他们不赞同过分降低和削弱数学证明的要求，并提出了忠告：真正的危险是过分地强调数学建模和数学应用的重要性．他们引用著名数学教育家波利亚的观点：“如果把证明全部从微积分中排除掉，那么微积分的教科书就变成了一部菜谱，这个菜谱开出了详尽的配料和工序，至于对为什么要这样配方，却没有说．”[16-19]事实上，人们希望儿童从幼儿园到高中的每个阶段，都学着去进行观察、发现事物之间的联系，构建一些数学的模型，在此基础上归纳，演绎推理，构造反例或间接推理[16,18-20]．而这些正是匈牙利数学课程的典型的特点．匈牙利经验是值得我们借鉴的．培养学生的推理能力，并不在于解多少难题，甚至偏题、怪题，而主要是通过一个较为常见的问题，让学生体会推理过程，掌握一些推理方法、技能[21]．

参考文献:

[1] 赵思林. 2010年高考数学创新型试题分类点评 [J]. 中学数学(高中)，2010(9)：33-37.

[2] 胡典顺. 人为什么要学数学:数学意义的哲学思考 [J]. 数学教育学报，2010，19(4)：54-57.

[17] Szombathelyi A, Szarvas T. Ideas for Developing Students' Reasoning: A Hungarian Perspective [J]. Mathematics Teacher, 1998, 91(8):677-681.

瘢痕子宫是产科临床常见的问题，我国人口政策的调整（二胎政策的放开），我国剖宫产率逐年增加，美国数据也显示剖宫产率增加，疤痕子宫再次妊娠的阴道分娩问题受到产科届特别的关注和重视[1-4]。疤痕子宫因盆腔粘连再次行剖宫产术的困难及复杂程度明显升高，容易引发凶险型前置胎盘甚至胎盘植入导致产后大出血、新生儿窒息、产褥感染等并发症[5-7]。本课题通过建立适合我国国情的疤痕子宫再次妊娠经阴道分娩的风险评分制表，评估VBAC的分娩结局，做好VBAC管理和规范。

[4] 潇湘数学教育工作室. 新课程背景下的几何证明教学 [J]. 湖南教育，2008(2)：7-12．

姜伯驹院士认为：“最简单的东西，往往也是最本质、最基本的东西，通过对简单的把握，建立思维体系，通过推理，得出的结果往往是惊人的．这就是数学思维，是科学精神．” [8]例如，欧几里德从5个不定义的概念和5条公理出发推演出了数百个定理(性质)．中国从唐朝到近代长期缺乏理性文明和严密逻辑论证，致使中国近代的科学技术远远落后于西方发达国家．鉴于理性文明在科学技术和社会发展中的重要性，为了中华民族的伟大复兴，姜院士建议，就要好好地补上理性文明这一课．初中是一个理性与思想的启蒙教育阶段，能否有理性的、有思想的启蒙是这个时期教育的关键[9]．中小学数学教育担负着理性文明和科学精神的启蒙使命,在建设创新型国家的战略中尤其重要．“新课标”全面否定了我国中等教育的优良传统，大大淡化了数学中的推理证明，代之以“贴近学生熟悉的现实生活，使生活和数学融为一体”．甚至连“平面几何”这个词都不见了，只许说“空间与图形”；三角形内角和等于180度这样的基本定理也不要求讲证明，有的教材就代之以所谓说理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验[10]．不鼓励学生问为什么，不讲证明，数学课就失去了灵魂[10-12].数学家的这些忧虑是有道理的，值得数学教育界重视和研究．

[6] 李淑文. 中日两国初中几何课程难度的比较研究 [D]. 长春：东北师范大学, 2006.

[16] 史亮. 高中归纳课程教学研究 [D]. 长春：东北师范大学, 2011.

杨力生问：“既然你知道大哥对你够意思，那你就表个态：你到底愿不愿意嫁给我呢？”说完，他的心就像火盆那样热，急等着李秀花给他个满意的答复。

刘晓璐等研究了近红外光谱无损快速检测蓝莓花色苷含量的技术，结果表明，在波长400-2500nm光谱范围内，应用偏最小二乘法建立蓝莓花色苷含量的定标数学模型，相关系数为0.7503，校正标准误差4.688mg/100g。说明近红反射技术可用于无损快速检测蓝莓中花色苷含量[33]。

[8] 蒋建华. 数学英才教育的责任担当 [J]. 数学通报, 2011, 50(3):19-26.

[9] 杨慧娟. 数学教育价值的重新审视：姜伯驹先生谈数学课程改革 [J]. 数学教育学报，2010，19(4)：96-97.

[10] 李鹏奇, 张洪光. 陈省身·几何原本·欧拉示性数:从三角形内角和定理、高斯·邦尼公式到阿蒂亚-辛格指标定理 [J]. 赣南师范学院学报, 2011, 32(6):1-14.

[11] 姜伯驹. 姜伯驹：新课标让数学课失去了什么 [J] ．中小学数学·小学版，2005(4)：16-17.

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[13] 杨乐. 谈谈数学的应用与中学数学教育 [J]. 课程·教材·教法，2010，30(3)：3-9．

直到现在，“帮顾客买商品”依旧是卡尔施泰特的经营特色，他们认为最重要的一件事情是为顾客提供“服务和帮助”，而把卖商品看作是一个由此而产生的效应。

[14] 俞求是. 数学科学的特点与中学数学教学 [J]. 中学数学教与学(人大复印)，2009(6)：3-6.

[15] 匈牙利：没有培训班的数学强国 [EB/OL]. 2012-10-31 [2017-11-15]. http://www. banyuetan. org/chcontent/sz/hqkd/20121030/61558. shtml.

译文： A thing is yet to be done until it is done.[2]185

[3] 王林全. 谈数学推理与证明能力的培养 [J]. 中学数学教学参考:上旬，2009(4)：2-5.

根据混凝土原材料配比表可知：该项目现浇混凝土原材料中掺有外加剂AN6混凝土防冻剂，可有效防止冬季混凝土的受冻.从现场养护日志资料可知：混凝土养护采用负温养护法，现场浇筑完成1周内各测温点温度基本都在16 ℃左右，且在新浇混凝土表面铺塑料薄膜并覆盖保温板，其养护温度及养护措施满足《建筑工程冬期施工规程》(JGJ/T 104—2011)的要求[5].地下室顶板裂缝并非是由于养护不到位造成的.

[18] 于明华. 高中数学合情推理课程内容的研究 [D]. 长春：东北师范大学, 2007.

[19] 黄德雄. 几何中的合情推理研究 [D]. 桂林:广西师范大学, 2003.

[20] 谢明初. 匈牙利培养学生数学推理能力的经验及借鉴 [J]. 广东教育学院学报，2002，22(2)：107-110.

对线程start()方式进行调用后，线程处于就绪形态，时间片由Cpu进行分配，则线程处于运行形态，那么时间片会结束，若没执行结束run()方法，线程就会阻塞。

[21] 喻平. 教学中几对矛盾的对峙与融通 [J]. 教育理论与实践，2008，28(4)：48-51.

[22] Pierre M Van H．Structure and Insight：a Theory of Mathematics Education，Developmental Psychology Series [M]. Orlan do FL：Academic Press，1986．

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程健南(1990—)，男，辽宁本溪人，博士生，研究方向为港口管理。E-mail:277516782@qq.com