已知受力情况和初值条件，给出位移、速度等物理量随时间变化关系(即给出运动问题解析解)实际上是求解微分方程的过程，也是经典运动学和动力学的一个主要任务.然而物质世界是复杂的，就一般实际问题而言，给出解析表达式是极其困难甚至是不可能的.而有的问题即使能得到解析解，但求已知条件时的值也相当繁琐.对于许多问题在精度要求范围内能给出其近似解也不失为一种好方法.目前，人们陆续地提出结合计算机高级语言(Matlab、C++、FORTEAN等)，通过编程实现迭代计算给出类似问题的数值解[1-5].但这样做的缺点是既不简单，也不直观.不论是在实际应用中，还是教学过程中，若要运行用计算机高级语言编写的程序，不仅需要相应的高级语言环境，而且用户也需要具备较强的编程能力和调试程序能力，但这并非是所有的工程技术人员或大学低年级学生都能做到的.本文利用EXCEL的迭代[6]计算和循环迭代[7]计算，快速、简便地给出相关问题的数值解.利用Oringin将数值解值与真值绘制相关曲线，观察相对误差，发现本方法在一定精度要求范围内是有效的.

1 问题的提出

物体在运动过程中，由于摩擦、碰撞等非光滑因素的存在，使得建模及求解有一定的复杂性.物体下落(考虑空气粘滞阻力)问题就是其中之一.下面为方便对比讨论，以一可得出解析解的具体问题为例说明.

一质量为m的物块，以一定的初速度在阻力系数为k的空气中下落.研究小球落地前各个时刻的速率.根据牛顿运动定律，可建立如下微分方程：

有关植被对降水水化学的研究已有较多报道，结果表明植被对水化学的影响与降雨(降雨量、降雨强度、降雨历时等)、树种、林分状况(林冠的干净程度、郁闭度、树皮粗糙度等)、大气状况等有很大关系[10]。树干径流与他人研究差异明显，主要原因是：华北落叶松的树皮开裂，很难直接从水体中吸收营养物质，而且本身也含有一定量的养分元素，当被雨水冲刷时就淋洗出可溶性部分，所以元素含量表现为增加(研究收集降雨量比较大的水样)；降水较少，降雨强度不大，树皮表面干燥，吸附力大，同时树皮中存在大量的空气尘埃，养分元素与尘埃物质形成难溶物质或是大颗粒导致元素含量下降[8]。

 

(1)

我们不是很方便地能得出：

 

(2)

从上表中可以看出，当时间步距取0.05s时Euler法就在0.05s出现的误差最大，为10-2级别，之后逐渐减小；而改进Euler法最后的收敛值也是在0.05s出现误差最大，为10-3数量级，以后逐渐减小.有趣的是各时间点收敛值出现的迭代次数基本比上一时间点多2次左右.而由误差UR-K很明显能体现出Runge-Kutta法精度高的特点.

2 数值解格式建立

取百香果果肉捣碎，经无菌纱布过滤留汁并杀菌冷却，得百香果果汁；将脱脂奶粉与白糖混合、溶解，并杀菌冷却，得无菌奶液；菌粉用温开水溶解，以备接种。

 

(3)

其数值解格式为：

 

(4)

当相邻时间点之间的差tn+1-tn取相等值τ时，式(4)即变成：

本文借助问卷星网上问卷平台设计问卷，以随机抽样的形式网上发放问卷，对大学生选择校园贷的基本情况做简单调查分析．共计发放调查问卷533份，回收有效问卷520份，有效回收率达97.56%．

 

(5)

[2] 黄海平. 关于单摆方程的C++语言数值解法 [J]. 东莞理工学院学报, 2005,12(1):14-19.

为了提高欧拉法的精度，还可以使用改进Euler法[9].改进Euler法是一个隐式格式，采用迭代方法，其格式为:

 

(6)

改进Euler法局部截断误差为0h3，整体截断误差为0h2，因此它比Euler法具有更高的精度.

[4] 谢孝宗,董刚. 刚体球做非简谐振动周期的数值解法眼界 [J]. 楚雄师范学院学报,2010,25(6):14-17.

 

(7)

3 数值解的获得及与解析解的对比

设前述问题中的物块从静止开始下落，质量m为2 kg、空气阻力系数K为4.9kg/m、重力常数g取9.8m/s2,以使问题具体化.取时间步距τ=0.05s，在Execl中编辑公式计算，并利用基本办公软件Execl的迭代计算和循环迭代计算功能，非常快速得到各个时间点、各迭代次数的速率值.

通过上述方法，将Euler法得到的各个时间点速率V0、改进Euler法若干次迭代后获得的收敛值VT、Runge-Kutta法获得的各时间点速率VR-K列入表1中.

Alabdulwahab A等提出了考虑风电随机性的电力机组日前调度方法；Sahin C等建立了天然气+电力的混合系统动态模型；Kamalinia S等考虑风电不稳定性提出了一种微电网热电联合调度的优化模型；Awad B等建立了考虑环境成本、能源生产成本和电、冷、热多能协调成本的多目标节能调度模型；周任军等建立了不同优化目标条件下的综合能源系统优化调度模型，并且通过实例进行了求解，最后分析了在不同优化目标下最优调度方案的统一性和矛盾性。

 

表1 各时间点速率及对应误差数值

  

时间(t)各时间点速率及对应误差值VOVTVR-KVUOUTUR-K0.0000000000.050.4900000000.4761154850.4804106270.4804257290.0199287220.0089717180.0000314350.100.9505877500.9023581440.9083929080.9084328650.0464039630.0066870340.0000439840.151.3298946591.2472090761.2521522961.2522295440.0620214680.0040092230.0000616880.201.6032387331.5034801211.5060184741.5061318100.0644743860.0017605960.0000752490.251.7783678651.6817873701.6821124441.6822458030.0571391300.0002725130.0000792740.301.8809503131.8000797491.7990213201.7991549070.0454632370.0005140420.0000742500.351.9375484881.8760409691.8743968621.8745162710.0336258570.0008133820.0000637010.401.9676719551.9237863471.9220811671.9221796620.0236670350.0008358660.0000512410.451.9833846721.9533894391.9518864601.9519631830.0160973780.0007306780.0000393050.501.9914923641.9715875611.9703765011.9704338350.0106872550.0005855190.0000290970.551.9956522391.9809279641.9817934251.9818349750.0069719550.0004576620.0000209650.601.9977803261.9827155541.9888225941.9888520150.0044891780.0030854290.0000147930.651.9988673631.9936239791.9931426071.9931630690.0028619300.0002312460.0000102660.701.9994221981.9961306801.9957947091.9958087410.0018105230.0001613080.0000070310.751.9997052801.9976525371.9974312811.9974312810.0011384620.0001107700.0000047630.801.9998496821.9985760671.9984259431.9984259430.0007124300.0000751210.000003197

从解析式(2)可发现，给出时间t的值后，计算对应时刻速率也是很繁琐的工作.

为使结果更直观，现以时间t为横轴，以各种速度v及误差U为纵轴，利用OriginPro8.0绘图软件在同一坐标系下将数值拟合成速度变化曲线(见图1)及误差曲线(见图2).

  

图1 速度曲线对比

  

图2 误差曲线对比

图1中可明显地发现，VO线与V线有一定的不重合度，而VT、VR-K线与V线的不重合度就较小，三条曲线基本重合.图2反应出Runge-Kutta精度更高、更稳定的特点.

4 小结

对于实际运动等各领域中可化为常微分方程初值的问题，可以不需要求解微分方程，而根据具体情况采用某种方法获得精度要求范围内的近似数值解，从而避免求解常微分方程的繁琐工作(对于无解析解的情况更是如此).对于精度要求不高的问题可以采用Euler法，而对于精度要求高的实际问题我们可以使用改进Euler法甚至Runge-Kutta法.我们还可以通过减小步距提高精度，至于由于减小步距导致增加的计算量，在借助现代计算机软件，特别是Excel的情况下都能很简单、方便地解决.

参考文献：

[1] 陈向华,赵国忠. 非线性单摆运动的数值解 [J]. 内蒙古科技大学学报,2007,26(1):94-96.

由式(4)或(5)我们发现，计算过程非常简单.由y0可直接计算y1，由此类推可计算yn，为显式格式.但是应注意到Euler法局部截断误差为0h2，整体截断误差为0h是一阶方法，计算误差较大.

混凝土塌落度18～22 cm，扩散度34～40 cm，初凝时间不小于 6 h，终凝时间不大于24 h。

[3] 邓永菊,王世芳,吴涛. 非线性单摆运动的计算机仿真 [J]. 湖北第二师范学院学报,2010,27(2):59-61.

此外，我们还可以使用精度高、收敛、稳定、不需计算高阶导数的Runge-Kutta法[10-12].其标准格式为：

[5] 马宗立,岳素芳. 抛物型方程反问题的数值解 [J]. 安庆师范学院学报(自科版),2008,14(4):1-3.

1)虽然钻头的扩孔率达到预期效果，但通过井径实测曲线可以看出，井径波动范围较大，井径结构不规则，扩孔效果还有进一步增强的空间；

[8] 戴嘉尊,邱建贤. 微分方程数值解法 [M]. 南京: 东南大学出版社,2002:1-21.

[7] 杨明波,卢建立,杨敏. 利用Excel的循环引用自动完成迭代计算 [J]. 计算机应用与软件,2008,25(12):103-105.

[6] 邱永红,曾永年,邹滨. 快速选择的循环迭代实现算法 [J]. 计算机工程与应用,2012,48(29):13-15.

[9] 蔡锁章,杨明,雷英杰. 数值计算方法 [M]. 2版. 北京: 国防工业出版社,2016:175-176.

上述问题实际是解常微分方程初值问题，数值求解常微分方程最简单的方法是Euler方法[8].对于常微分方程:

[10] 左军,谢冬秀. 数值计算方法与实验学习辅导 [M]. 北京: 国防工业出版社,2015:163-164.

[11] 沈焰焰,施齐焉. 随机微分方程的Runge-Kutta数值解法 [J]. 福州大学学报(自然科学版),2009,37(3):317-321.

[12] 庞立君,朱永忠. 一类随机微分方程Runge-Kutta方法的指数稳定性 [J]. 河海大学学报(自然科学版),2008,36(3):430-432.

[13] 孔祥路. 基于Mathematica软件在常微分方程初值问题中的可视化 [J]. 长春师范大学学报,2015,(10):20-25.

[14] 柳宏德. 基于Mathematica求解任意摆角下的单摆周期近似公式 [J]. 大学物理,2014,33(11):52-53.

中国的百姓非常智慧，善于感悟自然物象之本质，并将其于生活相关联，赋予它们美好的寓意；中国画家非常睿智，善于将自然物象之本质，与人生境遇相关联，并借之表达自己的思想情感，让中国画有了独特的艺术内涵。

表3给出了在不同优化目标下的优化结果。表3中,单目标优化是指仅以最小化购电成本或功率波动为目标的粒子群算法后的优化结果;多目标优化是指先将某一个目标作为主要的优化对象,再将另一个优化目标作为约束条件添加到原问题的约束集中得到的计算结果;二人零和博弈是指利用本文所述的二人零和博弈模型,确定各目标的权重系数,再应用布谷鸟搜索算法得到的优化结果。

在闽东这咫尺之地，因为银冶，皇上、朝臣，地方官吏，矿主、矿工，乡绅、百姓各色人等，聚焦白银，或认其为已定之事而振振有词，或为民请命陈情呼吁，或绞尽脑汁不择手段欲从中渔利等等，各种利益链交织，可谓层深面广，在此名利场上，各种角色，八仙过海，各显神通，皆为银来。狂热的白银追逐，催生了闽东左近区域丰富多彩的白银文化。