0 引言

动力系统是一门历史悠久的学科. 它的研究可以追溯到牛顿时期, 当时以时间为参变量的微分方程占据了主要地位.19世纪末, Poincare[1]创立了微分方程定性理论. 20世纪初,Birkhoff[2]为动力系统这一学科建立了理论框架.

混沌是用来描述动力系统复杂性的重要概念. 混沌的思想可以追溯到Poincare关于同宿轨的研究, 之后在著名的Smale马蹄中, 混沌的概念已然清晰, 再后来Li等[1]在 “周期3蕴含混沌” 一文中首次使用 “混沌” 一词. 值得注意的是混沌的定义是不统一的, 有Li-York混沌、Devaney[2]混沌、Ruelle-Takens-Kato[3]混沌. 关于Devaney混沌, 目前有许多研究, 如半群作用Devaney混沌[4]、拓扑空间中Devaney混沌的乘积性质[5]、 变参数离散Devaney混沌系统[6]、 诱导超空间映射的Devaney混沌[7].因为微分方程的许多定性性质可以通过研究拓扑空间上连续映射的迭代来获得, 所以研究映射的迭代是很有必要的. 从20世纪下半叶开始, 许多学者对一维映射的迭代进行了研究. Kuczma[8] 通过迭代的方法研究了一维函数方程的解, Sharkovsky[9] 给出了区间上连续自映射周期点存在的规律性, 张景中等[10] 研究了逐段单调连续函数的迭代根. 随着时间发展, 研究对象也更加细化. 单峰映射吸引了众多学者的目光, Feigenbaum[11] 通过研究单峰映射中的逻辑斯特映射发现了倍周期分岔现象.

本文研究一类推广的帐篷映射的Devaney混沌性.

1 预备知识

帐篷映射:

 

一类广义帐篷映射:

当前，高考思想政治选择题的命制要素，一般包括立意、选材、设问和答案组合等几项，在结构上表现出来就是“信息、知识、思维、思想”这四个部分的对立统一。本文就以2018年高考文综全国卷Ⅲ思想政治学科中的部分选择题为例，简要阐释一下命题中它们是如何组合起来的。

 

(1)

其中0<a<1,0≤b<1.

定义1.1[2] 度量空间(S,ρ)上连续动力系统 f:S→S 被称为Devaney混沌的当

可得

环境数据监测采集系统可对PM2.5、CO2、CO、噪声、紫外线、温度、湿度7个环境指标进行数据采集，并通过特定算法得到准确稳定的信息数据，然后发送至蓝牙串口与无线串口，实现数据的远程传输，按照需要对环境进行调节.

(c)f的周期点集合在S上稠密:

引理 1.1[12] 若S是R上的区间, 连续映射f:S→S是拓扑传递的, 则f在S上对初值敏感并且f的周期点集在S上稠密.

各项指标数据来源于门头沟区2008—2010年的《北京市门头沟区统计年鉴》和对樱桃沟小流域所做的实地调查，数据处理后得到樱桃沟小流域可持续发展评价指标权重。

这意味着区间上连续自映射的拓扑传递性等价于Devaney混沌性.

2 主要结果

在本文中, :={0,1,2…}, I:=[0,1], |c,d| 表示以c为左端点, d为右端点的区间(开、闭、左开右闭、右开左闭). int{J} 表示J 的内部, J 表示区间J 的长度.

记φ的唯一非0不动点为p , 显然 且a<p<1.

引理2.1 若J是I的子区间且p∈int{J}, 则存在n∈, 使得φn(J)=I.

再由(2) 和 p∈int{J} , 可知存在充分大的N, 使得a2N,a2N+1∈int{J}. 又由(3) 知 a2N<a2N+1, 从而[a2N,a2N+1]⊂J.

证明 令 ai:=p-(a-1)i(p-a),i∈.

(b)f对初值敏感: 如果存在ε>0使得, 对任意x∈S及x的邻域δ(x), 存在y∈δ(x),n≥0使得ρ(fn(x), fn(y))>ε.

在对该菌实施药敏试验后，可以看出该菌对先锋霉素和培氟沙星表现出高度敏感性；对卡那霉素、土霉素、阿莫西林，表现出中度敏感性。而对青霉素和链霉素等药物表现出不敏感状态。

 

(2)

和

 

(3)

再由和 0<a<1 , 可知

a1=1-a(1-a)<1.

(4)

因此, 由(2)(3)(4)可知

a=a0<…<a2i<a2i+2<…<p<…<a2i+3<a2i+1<…<a1<1.

(5)

由(1) 和 (5) 可得ai∈[a,1], 且

φ(ai+1)=ai.

(6)

算例设计为一个典型的供应链结构(如图1)，包括3个供应商、2个制造商、2个销售商、3个消费者和2个回收商，且供应链各主体均可与上下游主体进行完全信息交互并自主决策。每个供应商提供4种不同类型原材料，每个制造商可生产3种不同类型产品。产品和原材料BOM关系如图2所示，并设置产品与原材料生产配比为1。

公式(6) 和φ在[a,1] 上严格单调递减性意味着

φ2N([a2N,a2N+1])=φ2N-1([a2N,a2N-1])=φ2N-2([a2N-2,a2N-1])…=[a0,a1].

而

φ2([a0,a1])=φ([a0,1])=[0,1],

因此

I⊃φ2N+2(J)⊃φ2N+2([a2N,a2N+1])=I,

从而

φ2N+2(J)=I.

简便起见, 令

引理2.2 若J是I的子区间且 b<1-a, 则存在t∈, 使得a∈int{φt(J)}.

地籍调查信息系统的开发采用MyEclipse8.5为开发工具，使用Java语言编写，采用B/S结构模式建设，数据库使用MySQL。实现局域网内协同操作，避免在数据录入过程中出现数据重复现象，便于数据集中管理。

证明 假设结论不成立, 则

∀i∈,a∉int{φi(J)}.

显然|φi(J)|≥(min{L,R})i|J|.

由 0<a<1 , 可知

R>1,

(7)

由b<1-a, 可知

L>1,

(8)

进而,这与φi(J)⊂I 矛盾. 因此存在t∈, 使得

a∈int{φt(J)}.

引理2.3 若J是I的子区间且

 

则存在m∈, 使得p∈int{φm(J)}.

证明 假设结论不成立, 则

∀i∈,p∉int{φi(J)}

(9)

由引理2.2 存在t∈, 使得a∈int{φt(J)}. 令t0:=min{t∈|a∈int{φt(J)}}, 由(9)可知

φt0+1(J)⊂[p,1].

(10)

又由(7)(8) 可知

|φt0(J)|≥(min{L,R})t0|J|≥|J|.

(11)

设φt0(J)=|c,d|, 显然c<a<d.

实训模拟室的设备和工作环境与正规企业财务部门存在不小的差距，比如模拟室空间相对较小，环境较为复杂等。同时，模拟室里的训练只是模仿企业财务部门的工作形式，储存的财务资料与实际的财务资料有着很大的不同，学生在操作过程中也没有按照正规财务人员的操作标准进行操作。

(i)φ(c)≤φ(d). (如图1)则显然存在唯一点c′∈(d,1], 使得φ(c′)=φ(c),显然|φ(φt0(J))|=|φ([c,c′])|,又由

|φ(|c,c′|)|=(a-c)·L=

(c′-a)·R,

  

图1 φ(c)≤φ(d)

(a)f拓扑传递: ∀ 开集 U,V⊂S, ∃k∈, 使得 fk(U)∩V≠∅.

c′-c=c′-a+a-c=

 

从而

|φ(|c,c′|)|=|c,c′|·≥

|φt0(J)|·.

因此

|φ(φt0(J))|≥Λ·|φt0(J)|.

(12)

证明 由引理2.3 存在m∈, 使得 p∈int{φm(J)}.

与(i) 同理可证得

|φ(φt0(J))|≥Λ·|φt0(J)|.

(13)

由(10)(11)(12)(13)可知

稀土元素是一组能很好揭示成矿物质来源及成矿条件的示踪元素，对热液型铅锌硫化物矿床的成矿物质来源和矿床成因有很大的指示意义[7-8]。矿物稀土元素配分模式是对成矿流体稀土元素组成特征的直接反应[9-10]。不同标高采集的4件新鲜矿石样品其稀土元素含量见表1，用W.V.Boynton球粒陨石标准化后作出其稀土元素分布型式图(图9)。

由0<a<1, 和 a<p<1, 可推知

|φt0+2(J)|=R·|φt0+1(J)|≥RΛ·|φt0(J)|≥RΛ·|(J)|.

令J0:=J,Ji+1:=φti+2(Ji)ti:=min{t∈|a∈int{φt(Ji)}},i∈. 由引理2.2 对Ji⊂I , 存在t∈, 使得a∈int{φt(Ji)}, 从而ti必定存在, 因此Ji,ti 是良定义的.

我们断言

采用SPSS 20.0统计学软件对数据进行处理。计数资料采用x2检验，计量资料采用t检验。以P＜0.05为差异有统计学意义。

医院科研经费支出的内部控制，首先应完善各管理系统，以制度建设为基础，综合运用预算控制、加强资产管理、完善信息共享等内部控制方法，加强科研项目经费的全过程管理。

|φti+2(Ji)|≥(RΛ)i+1·|J|,∀i∈.

(14)

事实上, 当i=0时, 上面已经证明了.

假设当i=k时也成立, 则

|φtk+2(Jk)|≥(RΛ)k+1·|J|.

(15)

当i=k+1 时, 与(i)(ii)同理可证得

|φtk+1+2(Jk+1)|≥RΛ·|Jk+1|.

由(15), 显然

|φtk+1+2(Jk+1)|≥(RΛ)k+2·|J|.

因此(14)成立.

又由 可推知

 

从而

 

可知当i→,|φti+2(Ji)|→, 这与φti+2(Ji)⊂I相矛盾. 因此假设不成立, 从而存在m∈, 使得p∈int{φm(J)}.

定理2.1 若J是I的子区间且

 

则存在j∈, 使得φj(J)=I.

(ii)φ(c)>φ(d).

通过以上分析和研究,为起重机的可靠性和机构创新设计提供了分析方法,并为其杆件的加工与装配精度提供了参考依据.

令J′:=φm(J), 显然J′是I的子区间, 且p∈int{J′}. 由引理2.1 存在n∈, 使得φn(J′)=I.

令j=n+m, 则 φj(J)=I.

同时，品牌分化将日益明显，全年促销频率加快，家电龙头加大竞争力度，将朝着寡头垄断和跨界竞争的方向发展，将逐步抢占二线品牌份额，未来非第一阵营的品牌将面临极大的竞争压力。

定理 2.2 若 则φ 在I 上是Devaney混沌的.

证明 ∀ 开集 U,V⊂I, 任取U 的子区间J, 由定理2.1, 存在k∈, 使得 φk(J)=I. 因此φk(U)∩V=I∩V=V≠∅. 从而φ在I 上是拓扑传递的. 由引理1.1, φ 在I 上是Devaney 混沌的.

注记: 当 时, φ是标准的帐篷映射, 由定理2.2 可知φ 是Devaney 混沌的. 这个特殊情形已于1994年在文献[13]中得到了证明.

参考文献：

[1] Li T Y, Yorke J A. Period Three Implies Chaos [J]. American Mathematical Monthly, 1975, 82(10):985-992.

空压机就位→安装通风管(通风管末端安放在采空区顶板处)→料斗就位→送压、注砂→停机、量测→拔出通风管→安装砂泵→充填→封堵孔口。

[2] Devaney R L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems [M]. The Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc, 1986.

[3] Kato H. Everywhere chaotic homeomorphisms on manifolds and k-dimensional Menger manifolds [J]. Topology and Its Applications, 1996, 72(1):1-17.

[4] 关鹏, 张荣. 半群作用的Devaney混沌 [J]. 江西师范大学学报(自然版), 2008, 32(1):32-35.

[5] 索宇, 朱培勇, 吴新星. 拓扑空间中Devaney混沌的乘积性质 [J]. 西南民族大学学报(自然科学版), 2011, 37(2):199-202.

[6] 田传俊, 陈关荣. 关于变参数离散Devaney混沌系统 [J]. 深圳大学学报(理工版), 2006, 23(1):16-20.

[7] 廖公夫, 王立冬, 张玉成,等. 关于诱导超空间映射的Devaney混沌 [J]. 大连民族大学学报, 2007, 9(1):70-72.

[8] Kuczma M, Choczewski B, Ger R. Iterative functional equations [M]. Cambridge University Press, 1990.

[9] Sharkovskii A N. Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1995, 5(5):1263-1273.

[10] 张景中, 杨路. 论逐段单调连续函数的迭代根 [J]. 数学学报, 1983, 26(4):398-412.

[11] Feigenbaum M J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations [J]. Journal of Statistical Physics, 1978, 19(1):25-52.

[12] Bani I, repnjak M, Merhar M, et al. Towards the complete classification of generalized tent maps inverse limits [J]. Topology and Its Applications, 2013, 160(1):63-73.

[13] Crampin M, Heal B. On the chaotic ehaviour of the Tent map [J]. Teaching Mathematics and its Applications,1994, 13(2) 2： 83-89.