0 引言

现实世界中存在着各种各样自然现象，由这些现象可以派生出许多不同的概念.德国数学家Cantor创立的集合论只能描述非此即彼的分明概念；美国控制论专家Zadeh[1]建立模糊集却能刻画外延不分明的亦此亦彼的模糊概念；保加利亚学者Atanassov[2]提出的直觉模糊集增加了一个新的属性参数——非隶属度函数，可以描述非此非彼的模糊概念，因而更加细腻地刻画事物或现象的不确定性，有效地推广了Zadeh提出的模糊集概念.直觉模糊集一经提出，就引起了人们的极大兴趣，并迅速在模式识别、聚类分析、群决策等领域中得到应用[3-5].

1973年，Zadeh[6]首次提出了模糊分离规则，并被Mamdani等所发展[7],形成了著名的模糊推理的CRI方法.20世纪70年代以后以CRI方法为主线的各种新的思想与方法纷纷被提出[8], 并被应用于工业控制与家电产品的制作中，取得了巨大的成功.值得注意的是，尽管模糊推理在应用上取得了成功，但在理论基础上还存在着缺陷.也许正因为如此才出现了Elkan 博士1993年在美国第11届人工智能年会上关于“模糊逻辑似是而非的成功”的报告[9].1999年，王国俊[10]在分析CRI算法的缺陷的基础上提出了模糊推理的全蕴涵三I算法， 并将模糊推理纳入到严密的多值逻辑的框架中.1995年，李洪兴[11]从模糊控制的数学本质回应了Elkan 的报告, 并指出模糊控制器本质就是插值器，揭示了目前常用的模糊控制算法都可归结为某种插值方法[12].随后，三I算法和模糊控制机理分析引起众多学者的关注，相关理论研究不断完善和发展[13-23].但是基于直觉模糊集的模糊推理研究似乎没有得到足够的重视，其主要原因之一是直觉模糊推理并不像基于Zadeh模糊集的模糊推理那样自然，特别是直觉模糊蕴涵算子定义和选择缺乏理论依据，直觉模糊推理还没有形成统一的理论框架.最近，一些学者在文献[24-26]的研究基础上，提出了剩余型直觉模糊蕴涵算子，研究了剩余型直觉模糊推理的三I算法及三I约束算法[27-28].2010年，彭家寅[29] 以L*-格值上的Lukasiewicz蕴涵算子为工具在L*-格值逻辑的语义框架下，对BCK-代数在L*-格值谓词演算下予以了重新刻画，从一个完全不同于经典模糊化方向建立起了直觉模糊不分明BCK-代数理论.一个自然的问题是：利用L*-格值上的Lukasiewicz蕴涵算子进行直觉模糊推理及其相应模糊控制系统又将有会产生怎样的结果呢？为此，本文针对L*-格值上的Lukasiewicz蕴涵算子，给出直觉模糊推理的三I算法的计算公式，分析其还原性；讨论了α-三I算法和三I约束算法，给出了它们的计算公式.

面对以上种种的妥协与委屈，女性也不是一味地忍耐与接受，她们在对于旧习俗的反抗、真爱的向往、事业的追求及独立人格的要求方面有着不断的尝试。

1 预备知识

定义1.1[2] 设X 是一非空集合，X上的一个直觉模糊集A定义为

A={〈x,At(x),Af(x)〉|x∈X},

其中函数At:X→[0,1],Af:X→[0,1]分别表示X上的隶属函数和非隶属函数，且对任意x∈X,0≤At(x)+Af(x)≤1.

注：若对任意x∈X,At(x)+Af(x)=1,这时的直觉模糊集A退化为模糊集.把X上的全体直觉模糊集之集记为IF(X).显然，直觉模糊集作为模糊集的推广，它把论域X上的特征函数的取值从单位区间[0,1]扩充到三角形区域

L*={(u,v)∈[0,1]2|u+v≤1}.

求解 A*(x)

女士说，她来这里工作的时间并不很长，关于具体的数目并不是很清楚。但她可以告诉我们一个数字，自建立中心以来，到今天为止，这里一共在1267天中有人去世，有时候是一个人，有时候是多个人。

最基本的模糊推理问题为直觉模糊假言推理(intuitionistic fuzzy modus ponens, IFMP)问题和直觉模糊拒取式推理(intuitionistic fuzzy modus tollens, IFMT)问题. 设A(x),A*(x)是论域X上的直觉模糊集，B(y),B*(y)是论域Y上的直觉模糊集.IFMP问题是：

(2)A∩B={〈x,At(x)∧Bt(x),Af(x)∨Bf(x)〉|x∈X}；

(3)Ac={〈x,Af(x),At(x)〉|x∈X}；

(4)A⊆B⟺∀x∈X,At(x)≤Bt(x)且Af(x)≥Bf(x).

肿头龙脖子短粗，肌肉发达，身体强壮。和很多恐龙一样，肿头龙也长着一条长长的大尾巴，作用就是保持身体的平衡。肿头龙靠后肢站立和奔跑，所以两条后腿的肌肉很发达。与后肢相比，肿头龙的前肢则短得多，爪子上长有五根短短的指头。

在L*序意义下的最小直觉模糊集.

上述并与交运算可以推广到更一般情况：若A(λ):λ∈Λ,是一簇直觉模糊集，其中Λ为非空指标集，则

 

 

定义1.3[26] 设L*={(u,v)∈[0,1]2|u+v≤1},且α=(a1,a2),β=(b1,b2)∈L*.如果α≤L*β⟺a1≤b1且a2≥b2,则称(L*,≤L*)为L*-格.

在格(L*,≤L*) 中，α∧β=(a1∧b1,a2∨b2),α∨β=(a1∨b1,a2∧b2),最小元为0*=(0,1),最大元为1*=(1,0),不难证明(L*,≤L*)是一个完全分配格.文献[29-30]将L* -格值上的Lukasiewicz蕴涵算子→L* 定义为：对任意α=(a1,a2),β=(b1,b2)∈L*,有

α→L*β=(min{1,b1+1-a1,a2+1-b2},max{0,b2+a1-1}).

性质1.1[29] 如果→L*为L* -格值上的Lukasiewicz蕴涵算子，则

(1)α→L*β关于第一变元α单调减，关于第二变元β单调增；

(2)对任意α∈L*,1*→L*β=β；

(3)对任意α,β∈L*,

将欧式贴近度的概念融入到智慧城市建设公众参与水平评价中，能够直观地反映出两个模糊集的贴近程度，其值越小表示两者越疏远，反之则表示越接近.由于公众参与水平评价属于综合系统性评价，所以采用先乘后加算法对欧式贴近度进行计算，贴近度越接近1，说明公众参与水平越高.根据评价指标熵权wij及差平方复合模糊物元可得出欧式贴近度复合物元模糊矩阵RD为[10]

α→L*β=(β→L*0*)→L*(α→L*0*)；

(4)对任意α,β,γ∈L*,

α→L*(β→L*γ)=β→L*(α→L*γ)；

也就是且即A*(x)≤L*A(x).又当B*=B时，A(x)满足满足(3)式，即A(x)是问题(2)式的解.注意到A*(x)是问题(2)最大解，故A*(x)=A(x).

Lukasiewicz蕴涵算子→L*的伴随对定义为：对任意α,β∈L*

α⊗L*β=(max{0,a1+

b1-1},min{1,a2+1-b1,b2+1-a1}).

按伴随对的概念，若(⊗L*,→L*)为伴随对，则α⊗L*β≤L*γ当且仅当α≤L*β→L*γ.显然，α≤L*β→L*γ当且仅当β≤L*α→L*γ.

引理1.1 如果⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则下列结论成立

(1)α⊗L*β≥L*γ当且仅当α≥L*β→L*γ；

(2)α≥L*β→L*γ当且仅当β≥L*α→L*γ.

由于Lukasiewicz蕴涵算子→L*有性质1.1(5)，故可提出如下IFMP问题的三I原则：设A,A*∈IF(X),B∈IF(X),则问题(1)中的B*(y)是使

(1)A∪B={〈x,At(x)∨Bt(x),Af(x)∧Bf(x)〉|x∈X}；

已知 A(x)→B(y)

且给定 A*(x)

(1)

求解 B*(y)

而IFMT问题则是：

已知 A(x)→B(y)

随着我国城市化进程的快速推进，市政府不断加大对基础设施建设的投入，尤其是在城市道路建设方面，投入了不少资金，为市民出行提供了便利条件，为城市间来往和交流提供了物质基础。当然，现阶段中我国市政道路由于软土地基没有加固出现了不少问题，包括路面塌陷、沉降等，严重影响城市道路的正常使用。为了避免此类问题的发生而引发的城市道路问题和安全事故，就需要对软土地基进行有效的加固处理，由此达到软土地基道路施工中规范和高效的目的。

且给定 B*(y)

(2)

定义1.2[2] 设X≠∅,A={〈x,At(x),Af(x)〉|x∈X}与B={〈x,Bt(x),Bf(x)〉|x∈ X都为X上的直觉模糊集，则

在模糊集理论中有多种模糊推理的方法，其中最著名的是Zadeh[2]的CRI方法和王国俊[10]的三I方法.当问题(1)中直觉模糊集退化为模糊集时，CRI方法是直接将A*(x)与A(x)→B(y)进行复合得到B*(y)：

 

B(y))},y∈Y.

而三I算法的原则：B*(y)应是Y上的使(A(x)→B(y))→(A*(x)→B*(y))取得最大值的最小模糊集.

由图2可知，实体煤和支架控顶作用明显，顶板下沉量小，受充实率的影响小。充填体控顶作用受充实率影响明显，顶板下沉量随着充实率的增大而降低，当充实率为 60%，70%，80%，90%，95%，100%时，待充区工作 面 顶 板 下 沉 量 分 别 为 1m，0.78m，0.55m，0.33m，0.20m，0.11m。充实率受材料特性、工艺等因素影响，一般充实率达到90%以上可以满足工作面所能承受顶板下沉量的要求。

2 基于Lukasiewicz蕴涵算子→L*直觉模糊推理的三I算法

证明 (1)和(2)的证明类似，这里仅证明(1). 设α⊗L*β≥L*γ时，有α<L*β→L*γ,则α≥L*β→L*γ因(⊗L*,→L*)为伴随对知，α⊗L*β<L*γ,矛盾，故α⊗L*β≥L*γ当且仅当β≥L*α→L*γ.

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*B*(y))=1*

(3)

热喷涂过程中结合强度的影响因素较多，如喷涂速度、喷涂温度等，结合类型包括机械结合、物理结合和冶金结合3种，其中以机械结合为主，扩散与冶金结合也起着一定影响，要根据不同的材料体系选择合适的测试方法，如表3为几种涂覆方法结合强度，一般可采用的方法有拉伸法、压痕法等。

定理2.1 设⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则IFMP问题(1)式的三I解为

⊗L*(A(x)→L*B(y))}, y∈Y.

(4)

证明 依(4)式知,对任意x∈X,

B*(y)≥L*A*(x)⊗L*(A(x)→L*

B(y)),y∈Y.

按伴随关系知,对任意x∈X,

(A(x)→L*B(y))≤L*A*(x)→L*

B*(y),y∈Y.

由性质1.1(5)可得对任意x∈X,

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*

B*(y))=1*,y∈Y.

设C(y)是满足(3)式的Y的任一直觉模糊集，则对任意x∈X和y∈Y,有

(A(x)→L*B(y))→L*

(A*(x)→L*C(y))=1*.

由性质1.1(5)知,对任意x∈X,

从丢失钱包，到看到捡到信息出现在网上，前后是3个小时，这个速度已经够快了。但是这位警察说，一般情况下，如果有人把捡到的东西送到警察岗亭或警察署，只要有名字可以确认，都会在第一时间直接登录失物招领网站。他说：“丢失东西的人一定很着急。”但是警察打电话去咨询后得知，保管钱包的人已经下班，钱包锁在保险柜里。没办法，只能等过了周末去领。

(A(x)→L*B(y))≤L*A*(x)→

L*C(y),y∈Y.

结合伴随关系有对任意x∈X,

粗粉分离器是锅炉制粉系统的的主要设备，其性能直接影响着制粉系统的安全、经济运行。其原理是由磨煤机出来的气粉混合物以15～20m/s的速度经进口短管进入分离器后，由于内外锥体间环形截面积增大，气流速度骤降至4～6m/s，较粗的煤粉在重力的作用下从煤粉气流中分离落下。气粉混合物流过分离器上部折向门间隙时，防线便宜，在分离器外锥体上部形成倒漏斗状旋转气流。在离心力的作用下，较大颗粒被压到分离器外壳壁分离落下，而较粗的煤粉被抛向锥帽落入锥体内，经回粉管返回至磨煤机内重新磨制，合格的煤粉随气流从粗粉分离器短管引出至细分分离器。

A*(x)⊗L*(A(x)→L*B(y))≤L*C(y).

结合等式(4)有B*(y)≤L*C(y).证毕.

FMP问题的三I解在A(x)为正规模糊集的条件下具有还原性.对于IFMP问题是否也具有某种还原性呢？下面考虑这个问题.

由于有的配送人员素质较低，或对工作没有责任心，或觉得态度无所谓，导致对顾客态度恶劣。他们不能及时耐心地与客户沟通，共同解决配送过程中出现的问题。与客户发生冲突时，不能采取礼貌的方式对待客户，也不及时向物流公司进行汇报，无法顺利解决客户遇到的问题，这会导致客户对该物流配送产生很大的不满。因此必须对配送人员进行培训，主要是服务态度的培训，必须使用礼貌用语，出现问题必须及时向公司客服进行反馈，不能直接与顾客发生争执。

定理2.2 如果A(x)满足条件存在x0∈X,使A(x0)=1*,那么当A*=A时，(4)式给出的解B* 满足B*=B.

证明 由(4)知当A*=A时

①整体拆除重建与新房置换模式。对于修建时间早，现已成为危房的住房。有关部门应制定相应的拆迁和房屋置换条例，确保拆迁合法性与民主性。②针灸式精准改造模式。对于居住条件较差的房屋，主张改善其居住环境并加强对公共服务设施的填充，提高公共服务设施的质量。

⊗L*(A(x)→L*B(y))},y∈Y.

(5)

由于

A(x)→L*B(y)≤L*A(x)→L*B(y)

和(⊗L*,→L*)为伴随对，有

A(x)⊗L*(A(x)→L*B(y))≤L*B(y),

x∈X,y∈Y.

于是B*(y)≤L*B(y),y∈Y.又存在x0∈X,使A(x0)=1*,所以由(5)及性质1.1知

B*(y)≥L*A(x0)⊗L*(A(x0)→L*B(y))}=

1*⊗L*(1*→L*B(y))≥L*B(y),y∈Y,

故B*=B.

Lukasiewicz蕴涵算子→L*,IFMT问题的三I原则：设A∈IF(X)且B,B*∈IF(X),则问题(1)中的A*(x)是使

(A(x)→L*B(y))→L*

(A*(x)→L*B*(y))=1*

在L*序意义下X上的最大直觉模糊集.

定理2.3 设⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则IFMT问题(2)式的三I解为

B*(y)}, x∈X.

(6)

证明 由(6)知,对任意y∈Y,

A*(x)≤L*(A(x)→L*

B(y))→L*B*(y),x∈X,

于是

A(x)→L*B(y)≤L*A*(x)→L*B*(y).

由性质1.1知,

黑龙江省位于我国东北部，处于高寒地带，具有得天独厚的冰雪资源，为黑龙江省冰雪旅游的发展奠定了良好的基础。随着我国经济的不断发展和完善，旅游越来越受到人们的喜爱和追捧，成为人们休闲娱乐的良好方式之一，同时也为经济发展注入了新的动力。冰雪旅游作为一种新兴的旅游方式，由于季节性和区域性的限制，东北地区的冰雪旅游越来越受到广大群众的欢迎。

(A(x)→L*B(y))→L*

(A*(x)→L* B*(y))=1*,

即A*(x) 满足(3)式.假设D(x)是满足(3)式的直觉模糊集，即对任意y∈Y,

(A(x)→L*B(y))→L*(D(x)→L*B*(y))=1*,

从而

(A(x)→L*B(y))≤L*D(x)→L* B*(y),

故对任意y∈Y,

D(x)≤L*(A(x)→L*B(y))→L*B*(y).

结合(6)知，D(x)≤L* A*(x),这表明A*(x)是满足(3)的X上的最大直觉模糊集.

定理2.4 如果B(y)满足条件存在y0∈Y,使B(y0)=0*,那么当B*=B,(6)式给出的解A* 满足A*=A.

证明 由(6)知当B*=B时

 

B(y))→L*B(y)},x∈X,

故

A*(x)≤L*(A(x)→L*B(y0))→L*B(y0),

故(A(x)→L*B(y0))≤L*A*(x)→L*B(y0).

根据→L*的定义知，

(min{1-At(x),Af(x)},At(x))≤L*

 

按直觉模糊集的定义知，

 

所以

在上述4个影响因素中，前3个指标均为数值指标，很容易量化。而对于第4个因素，可以通过查询生产设备的订货纪录结合工作人员的经验，将这一指标转化为0～1的数值指标，即极易容易采购则赋值为1，否则为0。

 

(5)对任意α,β∈L*,α≤L*β⟺α→L*β=1*.

注 定理2.4指出了IFMT问题在一定条件下具有还原性.

3 基于Lukasiewicz蕴涵算子→L*直觉模糊推理的α-三I算法

在上节中(3)实质要求

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*B*(y))

的值恒为L*的最大值1*,这可以理解为要求A→L*B全力支持A*→L*B*.从支持力度的观点来看，自然还可以A→L*B对A*→L*B*的支持程度大于或等于α的情形，这里0*≤L*α≤1*.

IFMP问题的α-三I原则：设A,A*∈IF(X),B∈IF(Y),则问题(1)中的B*是IF(Y)中使

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*B*(y))≥L*α

(7)

对一切x∈X和y∈Y都成立在L* 序意义下的最小直觉模糊集.

定理3.1 设⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则IFMT问题(1)式的α-三I解B*为

⊗L*(A(x)→L*B(y))]⊗L*α}, α∈L*,y∈Y.

(8)

证明 由(8)式知任意x∈X,

[A*(x)⊗L*(A(x)→L*B(y))]⊗L*α≤

L*B*(y),y∈Y.

因为(⊗L*,→L*)为伴随对，对任意x∈X,

(A(x)→L*B(y))⊗L*α≤L*A*(x)→

L*B*(y), y∈Y,

于是任意x∈X,

α≤L*(A(x)→L*B(y))→L*

(A*(x)→L*B*(y)),y∈Y.

现设C(y)是满足(8)式的Y上的直觉模糊集，即

α≤L*(A(x)→L*B(y))→L*

(A*(x)→L* C(y)),x∈X,y∈Y.

由(⊗L*,→L*)为伴随对，对任意x∈X,

(A(x)→L*B(y))⊗L* α≤L*

A*(x)→L*C(y),y∈Y,

也就是对任意x∈X,

A*(x)⊗L*(A(x)→L*

B(y))⊗L* α≤L*C(y),y∈Y.

由(8)式有B*(y)≤L*C(y),故B*是IFMP问题的α-三I解.

IFMT问题的α-三I原则：设A∈IF(X)且B,B*∈IF(Y),则问题(2)中的A*(x)是IF(X)中使(7)式对一切x∈X和y∈Y都成立在L* 序意义下的最大直觉模糊集.

定理3.2 设⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则IFMT问题(2)式的α-三I解A*为

⊗L*α]→L*B*(y)},x∈X.

(9)

证明 由(9)式知对任意y∈Y,

A*(x)≤L*[(A(x)→L*B(y))⊗L*α]→L*

B*(y), x∈ X.

于是对任意y∈Y,

(A(x)→L*B(y))⊗L*α≤L*A*(x)→L*

B*(y),x∈X.

因为(⊗L*,→L*)为伴随对，故对任意y∈Y,

α≤L*(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*

B*(y)),x∈X.

这表明A*(x)满足(7)式.设D(x)是使(7)成立的X上的任意直觉模糊集，则对一切y∈Y,

(A(x)→L*B(y))→L*(D(x)→L*

B*(y))≥L*α,x∈X.

由于(⊗L*,→L*)为伴随对，所以对任意y∈Y,

(A(x)→L*B(y))⊗L*α≤L*D(x)→L*

B*(y),x∈X,

进而对任意y∈Y,

D(x)≤L*[(A(x)→L*B(y))⊗L*α]→L*

B*(y), x∈X.

结合(9)式可知，D(x)≤L*A*(x).

综上，A*是X上使(7)成立最大直觉模糊集.

4 基于Lukasiewicz蕴涵算子→L*直觉模糊推理的三I约束算法

IFMP问题的三I约束原则：设A(x),A*(x)∈IF(X),B(y)∈IF(Y)且α∈L* ，则B*是Y上使

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*B*(y))≤L*α

(10)

对一切x∈X和y∈Y都成立，在L* 序意义下的最大直觉模糊集.

定理4 .1 设⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则IFMP问题(1)式的三I约束解B*为

⊗L*(A(x)→L*B(y))]⊗L*α},y∈Y.

(11)

证明 据(11)式知对任意x∈X,

B*(y)≤L*[A*(x)⊗L*(A(x)→L*

B(y))]⊗L*α,y∈Y.又(⊗L*,→L*)

为伴随对，依引理1.1(1)知 对任意x∈X,有

[(A(x)→L*B(y))⊗L*α]→L*

B*(y)≤L*A*(x),y∈Y.

再由引理1.1(2)得对任意x∈X,有

A*(x)→L*B*(y)≤L*(A(x)→L*

B(y))⊗L*α,y∈Y.

注意到又(⊗L*,→L*)为伴随对及引理2.1(1)知，对任意x∈X,

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*

B*(y))≤L*α,y∈Y.

上述表明B* 是满足对一切x∈X和y∈Y都有(11)成立的直觉模糊集.

设C(y)∈IF(Y)使(11)成立，则对任意x∈X,有

(A(x)→L*B(y))→L*(A*(x)→L*

C(y))≤L*α,y∈Y.

由引理1.1(1)知：对任意x∈X和y∈Y,有

A*(x)→L*C(y)≤L*

(A(x)→L*B(y))⊗L*α,

进一步，

C(y)≤L*A*(x)⊗L*(A(x)→L*B(y))⊗L*α.

将之与(11)比较有：对任意y∈Y,C(y)≤L*B*(y). 综上所述，B* 是使对一切x∈X和y∈Y都有(11)成立的Y上的最大直觉模糊集.

IFMT问题的三I约束原则： 设A(x)∈IF(X)且B(y),B*(y)∈IF(Y), α∈L*,则A*是X上使对一切x∈X和y∈Y,(10)都成立在L* 序意义下的最小直觉模糊集.

定理4.2 设⊗L*是Lukasiewicz蕴涵算子→L*诱导的伴随算子，则IFMT问题(2)式的三I约束解A*为

B*(y)]},x∈X.

(12)

证明 由(12)知对任意y∈Y,

A*(x)≥L*α→L*[(A(x)→L*B(y))→L*

B*(y)], x∈X.

据性质1.1(4)知：对任意y∈Y,有

A*(x)≥L*(A(x)→L*B(y))→L*

(α→L*B*(y)),x∈X.

依引理1.1(2)得

A(x)→L*B(y)≥L*A*(x)→L*(α→L*B*(y)),

再依性质1.1(4)有：对任意y∈Y,

A(x)→L*B(y)≥L*α→L*(A*(x)→L*

B*(y)),x∈X.

再据引理1.1(2)知，对任意x∈X和y∈Y,

α≥L*(A(x)→L*B(y))→L*

(A*(x)→L*B*(y)).

这表明A*满足(10)式.

假设D∈IF(X)满足(10)式，则对任意x∈X和y∈Y,有

(A(x)→L*B(y))→L*(D(x)→L*B*(y))≤L*α.

由引理1.1(2)知，

A(x)→L*B(y)≥L*α→L*(D(x)→L*B*(y)).

按性质1.1(4)，有

A(x)→L*B(y)≥L*D(x)→L*(α→L*B*(y)).

再结合引理1.1(2)和性质1.1(4)知，任意x∈X和y∈Y有

D(x)≥L*(A(x)→L*B(y))→L*(α→L*B*(y))=

α→L*[(A(x)→L*B(y))→L*B*(y)].

注意到(12)式有：对任意y∈Y,A*(y)≤L*D(y),即A*是X上使对一切x∈X和y∈Y,(10)都成立在L* 序意义下的最小直觉模糊集.

参考文献：

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[2] Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986,20(1):87-96.

[3] Li D F, Cheng C T. Now similarity measures of intuitionistic fuzzy sets and application to pattern recognitions [J]. Pattern Recognition Letters, 2002,23(1/3):221-225.

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