高等几何素有“难学难教”之称，为了培养大学生创新精神和实践能力，提高应用型人才培养质量，对高等几何课内实践教学进行探索与实践，将理论与实践相互结合，提升学生的数学素养、自主学习习惯、解决问题的能力。

1 高等几何教学目前存在的现状

保山学院的课程设置几经改革，高等几何课程作为课程设置的组成部分，也经过几番改革，从专业必修课变为专业选修课开设，周学时从5学时变为3学时。在访谈中发现，许多学生认为学习高等几何意义不大，尤其对中学数学教学没有什么指导作用，上一届学生与下一届学生口耳相传；甚至一部分教师也提出数学与应用数学专业没必要开设本门课程。

还可考虑建设铁路大数据中心，为铁路建设的各项决策提供大数据技术支持。如：铁路运量预测、铁路大型车站的规模决策分析。

关于高等几何的难学难教，已有不少作者有所论述，如崔萍等[1]论述了高等几何课难学难教导致教改甚微；李中等[2]也谈到了高等几何的难教；邢妍[3]剖析了高等几何难学难教的部分原因：高等几何涉及知识面广、内容高度抽象、繁杂，“爱尔兰根纲领”理解困难，学生对课程功能认识不到位、学习的兴趣缺失等。

高等几何的难学，一方面因为内容的许多观点与欧氏几何体系的常识不符，导致学生在认知方面的“冲突”，思维天平的倾斜。例如射影直线与射影平面都是封闭的。点有方程、线有坐标，两直线一定相交等观点。许多学生无法从欧氏几何中“跳出来”，容易受到传统思维习惯的干扰，难以接受和理解。另一方面，高等几何中许多术语古怪、表述艰涩、语言简洁，如对合等词（对合源于植物学名称），也导致学生对一些基本概念难以理解，产生了高等几何难学的观念。

高等几何的“难教”，一方面是由于保山学院的数学与应用数学人才培养目标和学科专业特点。按照课程教学大纲的要求，课程设置性质为专业选修课，周学时3学时，教材选用朱德祥编的《高等几何》，教材内容是八章，主要内容分别为仿射几何的基本概念、欧氏平面的拓广、一维射影几何学、德萨格定理、四点形与四线形、射影坐标系和射影变换、二次曲线的射影性质、二次曲线仿射性质、二次曲线的度量性质。而制定的课程教学计划是完全依据教学大纲，课时少、教学质量要求高，致使教师普遍认为本课程“难教”。另一方面“难教”还有教师的原因。教师在教学上对选择教学内容与教学方法研究较少，导致重理论教学、轻实践，使学生在学习中不知定义、定理产生的背景及实际意义，也不明白推导出的公式、结论在实际中的应用，这也是“难学难教”的根源。笔者认为在高等几何教学中增加课内实践教学的环节是解决高等几何“难教难学”问题的有效措施。而许多教师对于实践性教学认识不到位，尤其是理论课教师更是认识不到位，将“实践教学等同于习题课教学”，将理论知识灌输给学生，学生被动接受知识，理论与实际操作不能进行有机结合。

对所选18块样地内毛竹进行每竹检尺。根据立竹度对林分进行密度划分，将立竹数低于95株的样地定为低密度林分，高于95株的样地定为高密度林分。将所选样地分为2组，每组9块并进行老竹清理。试验采用随机区组设计，共有3个施肥处理，每个处理3次重复，即进行3种肥料在2种密度条件下(高密度和低密度)的施肥效果比较。肥料种类及施肥量为尿素30 kg/667 m2(处理Ⅰ)、生物有机肥200 kg/667 m2(处理Ⅱ)、钢渣肥30 kg/667 m2(处理Ⅲ)。

2 高等几何课内实践课的课程结构设计

能力培养模块的课程通过培养学生的自主学习、自我展示、自我评价、合作交流、实践操作等能力，将理论与实际相结合，将理论知识在实际操作过程中应用、巩固知识，提高学生动手解决问题的能力。

小组成员角色分配：组长、报告人、总结人与评价人。其中组长负责本组成员的构成，介绍本组成员的分工情况、课题的来源等；报告人汇报本组的数学合作成果；总结人对本组的合作成果进行总结；评价人对其他组的合作成果提出建议，汇总别组评价人的相关建议，对本组的合作交流成果作出书面的整改建议。要求不同的角色需要不同的人来担任，不得雷同。

行为异常组在矛盾性和独立性维度的得分明显高于正常组（P＜0．05），而在亲密度、情感表达、知识性、娱乐性、道德宗教观、组织性及控制性维度的得分则明显低于正常组（P＜0．05）。见表1。

另一个特征是应用性，一方面利用极限、线性代数、解析几何、群论等学科的方法来研究本课程，课程本身就体现了其它学科的应用性；另一方面是射影几何理论应用于其它学科中，如二次曲线的射影理论和二次曲线的仿射理论，对初等几何、解析几何的应用具有重要指导意义；坐标被应用于计算机中来处理有关的运算；射影方法则被应用于X光和CT扫描中的成像技术；对偶原理则应用于中医诊断所用的“望、闻、问、切”四种手段；建筑与绘画艺术均用到了透视等。

高等几何课内实践教学是课堂教学的重要组成部分，其重点是培养学生的逻辑推理能力，使学生学会运用数学概念、思维方法来直观地解释问题、处理复杂繁琐的符号演算问题、高观点处理初等几何和其它数学学科问题。

3 高等几何课内实践课的内容设计

课外实践的时间：学生自主学习的时间为6周，自我展示与自我评价时间为2周（课内实践）。

表1 高等几何知识单元与实践内容对照表

实践内容（课外18学时+课内6学时）仿射几何学 仿射几何在初等几何中的应用；仿射几何学的思想及其应用欧氏平面的拓广 理想元素及其应用；对偶原理及其应用；欧氏几何中的对偶原理知识单元（课内教学48学时）射影几何学调和共轭及其应用；德萨格定理及其应用；二维射影变换的应用；射影几何学的思想及其应用二次曲线的性质高等几何在数学竞赛中的应用；利用二次曲线的仿射、射影、度量性质对二次曲线的进一步探讨

在欧氏平面的拓广章节绪论中，讲清楚高等几何是一门创造性的学科，其创造性产生的背景是考察点光源将物体投影到地面的影子的实例，抽象出数学模型即中心投影，为解决中心投影不是数学意义下一一对应的问题，创新引入理想元素。

尖锥掉落在地，散开，精钢的节足和硬甲碎裂成无数的碎片。唐飞霄的身体从中滚落，他趴在地上，努力抬头，望着天葬师，想要说些什么，却突然呕出了一口鲜血。

每一个知识单元的教学，注重章节绪论的讲解，精讲细讲，使学生彻底弄清楚知识产生的背景；讲清课程的思想方法，突出课程的高观点对初等几何的指导作用。例如在仿射几何学这一模块的绪论中，让学生清清楚楚知道，仿射几何揭示的是一种思想方法，即观察——概念形成——不变量系统——代数系统，其研究内容来源于生活、自然及建筑，具体例如仿射变换是从太阳光的照射引入；正交变换是从移动、转动和镜面反射引入的。对线性变换称为仿射变换，它具有平移、旋转、扩缩、反射和投影作用，研究A为满秩（非投影）情况下的不变性（平行性、接合性、同素性）及不变量的问题。

在射影几何学绪论中详细介绍高等几何利用“变换不变量”概念建立相应的坐标系，通过不变量系统可使我们弄清楚几何学的构建或结构问题，能够拓展学生在更高的视野下审视初等几何，并能解释清楚仅凭中学解析几何无法解释的一些问题，在不同的高度深刻地认识二次曲线的共性与个性问题。

4 高等几何课内实践课教学实践与体会

课内实践设计的思想是让学生利用已学的数学知识、思想方法，采用“三自”学习模式，学生动手、体验、解决问题，从实践中学习和应用数学，学会数学交流。在数学交流过程中，要求学生学会改变自己的认知，理性看待问题，转变看待问题的视角，调整自己的思维天平结构。

课内实践的“三自”学习模式是：学生学会自主学习、自我展示、自我评价。自学是学生依据高等几何，自主学习其它有关材料，积累自己对学习内容的认识与理解。自展是学生主动开展交流个人或小组自学的成果，这是一个生与生、师与生、组与组全面互动交流的过程。自评是学生自主对其它学生或别组学生展示的数学成果，提出问题及建议，同时也包含教师对学生的认知、体验、感受的检查和总结。

组织形式：以小组为单位，学生自由组队，每组成员必须要有一名男生和一名女生。

课程结构的设计遵循三个原则：适应专业的培养目标、适应学生发展需求、适应学生的接受能力。重点突出理论应用和动手能力培养两个模块。

由于高等几何的教学受到课程教学大纲、课程设置及课程教学计划的制约，需要对教学内容进行改进，强化数学的应用性，优化课程内容，将高等几何的九章内容整合优化为四个模块进行教学[3]，针对每个模块精心设计实践性教学内容，表1为高等几何知识单元与实践内容对照。

理论应用模块是课内实践教学中最为关键的内容之一。对这些内容的教学，应注重入门教学，精心设计绪论课，介绍高等几何的发展历史及研究方法（解析法与综合法），精心解读十九世纪名言“一切几何学都是射影几何”，提出观点：射影变换将彻底改变我们的几何空间概念。在理论基础知识的传授上，突出数学思想方法的传授，如群论观点的创造是为了解决4次以上代数方程是否有根式解得问题；又如为了解决画家怎样把立体的东西画在平面上，产生了“高等几何”课程中最重要的内容，即射影几何。强调高等几何的两个重要特征。一个特征是创造性，创造性体现在为了用一一对应的思想研究中心投影，创造性地引入理想元素（无穷远点与无穷远直线）；为了研究理想元素创造性地引入齐次坐标，充分体现了射影几何中的创新思想。

考核方式：每个小组提供一份课程小论文和一份汇报（PPT）。课程小论文要求规范：题目、摘要、关键词、正文、参考文献、课程小论文必须是手写稿。各组汇报的顺序由抽签决定，各组成员展示的顺序依次为：介绍人（2-4分钟）、报告人（15-20分钟）、总结人（2-4分钟）与评价人（2-4分钟）。每一次小组合作交流由教师随机抽各小组的评价人进行评价与打分。学生在完成合作交流的过程中，需要经历搜索资料、自主学习、图表表达、分析整理、研究报告、PPT制作与汇报、自我展示、自我评价、倾听他人的意见、相互鼓励等环节。而这些环节培养了学生的交往能力、沟通交流能力、数学交流能力、动手能力、学习能力、评价与反思能力及解决问题的实际能力，充分体现了实践的思想。

5 结语

通过课内实践教学，使我们认识高等几何课内实践教学是一种“双赢”的教学，要从实际问题出发，讲清处理问题的过程并总结出规律。需要教师把精力花在高等几何的教学研究上，讲清课程的思想方法。在传授理论知识的同时，要有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想揭示出来，进行提炼、概括、学以致用。这样才有利于学生学习积极性的发挥及自主学习能力的提高，学会独立思考问题和解决问题的能力。

一方面学生的合作交流给教师提供了研究高等几何的不同视角，如“仿射下的几何人生”、“高等几何的思想在初等几何中的应用”、“文化视角下的射影几何”等。

在水库上游选择石梁、急流、卡口控制断面上游处河道顺直匀整的河段，设立水文站基本站。设立水文站后，可以观测水位、流量、泥沙、降水、蒸发、地下水、水温、冰情、水化学等水文要素的变化，为水库提供可靠的水文资料。

另一方面，高等几何课内实践教学也深受学生的欢迎。在学期结束时，学院曾进行了一次调查问卷，有98%的学生认为本学期收获最大的一门课是高等几何，高等几何的实践课对学生的影响是受益终生。

中国高铁在“一带一路”沿线国家和地区知识产权权益保护研究——以俄罗斯市场为例 ........................王晓刚 于立彪 07.92

参考文献：

[1]崔萍，包彩宏.《高等几何》教学现状及改进策略[J].曲靖师范学院学报，2014（3）：64.

[2]李中，李伟勋.关于高等几何教学改革的一些尝试[J]. 才智，2017（14）：88.

[3]邢妍.高等几何教学改革的探索与实践[J].保山师专学报，2007（5）：55～58.

[4]朱德祥，朱维宗.高等几何[M].北京：高等教育出版社，2016.