引言

平行四边形是所有四边形中最基本的图形构造，因此，平行四边形面积的计算问题也是整个四边形计算中的基础。①为了使学生在几何学习中打下坚实的基础，笔者以《平行四边形的面积》为例，提炼出学生容易陷入的五个误区：平行四边形面积公式是否是邻边相乘；拉伸后的长方形后周长不变的前提下面积是否发生改变，割补后的长方形面积的不变的前提下周长的是否变化；是否所有的平行四边形都可以转化成长方形；平行四边形面积公式是否是底所对应的高；等底等高的平行四边形面积是否相等和面积相等的平行四边形是否只有一种形状。实践是检验真理的唯一标准，解决策略部分，笔者采用了课例的形式，便于一线教师运用于实践。

一、课标解读

《2011版小学数学新课程标准》中4-6年级学段的目标是：探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；掌握测量、识图和画图的基本方法。②由此可见，《课程》对平行四边形面积的要求较为精炼、概括。如果老师对课标的解读不到位，没有把握住核心理念，学生很容易陷入误区，无法为以后的几何学习打下良好基础。

二、教材分析

（一）不同版本教材内容分析

笔者查阅三套不同版本教材，详见下表：

共收集符合标准的病例113例 ，年龄43～85岁，平均(70.37±7.68)岁， BMI(21.17±2.56)kg/m2，CCI 0～3分，平均(1.65±0.81)分，切缘阳性59例(52.2%)，手术时间(358.36±110.33)min，手术失血量(547.35±247.17)mL。

表1

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从表1中可以看出：

基于上述文献统计与分析，笔者认为可从MOOC理念引入与图书馆MOOC实践经验介绍、MOOC环境下图书馆及图书馆员的“2+2”型角色定位、MOOC环境下的图书馆服务创新、MOOC环境下的信息素养教育、MOOC环境下的版权服务、MOOC平台技术支持与优化等6个方面，对国内图书馆与MOOC相关问题的研究内容进行梳理。

人教版平行四边形面积设置在多边形面积章节的第一课，三角形和梯形的面积分别设置在平行四边形面积之后。教材编排：（1）利用数方格的方法来分别计算平行四边形的面积和长方形的面积，并列表进行比较；（2）通过情景创设，把平行四边形沿高剪开，拼接成长方形；（3）实现平行四边形转换成长方形，并推导出平行四边形面积计算公式。

护士应根据患者自身危险情况评估患者可能发生的安全隐患,强化护患沟通,了解患者病情、掌握病史,并明确有无低血压、心脏病等疾病;加强病房巡视,及时发现隐患和处理,以免出现意外。同时加强陪护者的指导和教育,使其合理为患者按摩、喂食和喂水,避免自行调节输液滴速;定时为患者翻身叩背,预防压疮的发生。

北师大版多边形面积第一课内容主要是将三角形、平行四边形和长方形等多边形，在小方格中进行面积比较，平行四边形面积设置在梯形和三角形面积课程之间。教材编排：（1）通过一道例题计算草坪中平行四边形面积；（2）用数方格的方法来比较长方形与平行四边形的面积；（3）通过平行四边形割补成长方形这一过程，来比较两者之间的联系；（4）最后通过长方形面积公式推导出平行四边形的面积计算公式。

苏教版平行四边形面积设置在多边形的面积章节里第一课，三角形和梯形面积分别设置在其后。教材编排：（1）将多边形面积与长方形面积在小方格中进行比较，（如图1）渗透割补思想；（2）引申出平行四边形割补成长方形，割补过程中分别用三角形和梯形两种方式在小方格进行（3）通过列表格来比较长方形和平行四边形面积，最后推导出平行四边形的面积计算公式。

图1

（二）不同版本教材内容的异同

1.相同：三个版本在平行四边形面积教材内容编写中，均利用小方格来计算其面积，只是设置前后略有不同；三个版本都将平行四边形和长方形进行比较，采用不同方式将平行四边形割补成长方形，来实现两者的转化，最终推导出平行四边形面积计算公式。本课内容将面临的新问题转化为学生比较熟悉的问题加以解决，将复杂问题简单化，体现了化归数学推理思想。

生：长方形宽和平行四边形的底相同，长方形的长和平行四边形的高相同，他们的面积一样。

幸亏这会儿香辣虾上来了，易非像得了大赦，连忙拆了餐具，给两人倒茶。田有园没有喝易非倒的茶，他拿了筷子给易非夹虾。

三、小学生数学学习常见误区及解决对策研究

（一）误区1：平行四边形面积公式是否是邻边相乘

由于前期经验——长方形的面积计算公式的影响，学生很容易联想到平行四边形面积计算公式是邻边乘以邻边。此阶段的儿童属于具体运算阶段，形象思维大于抽象思维，如果教师在教学中不用一些具体形象的操作，来实现长方形和平行四边形面积的转化，直接告诉学生平行四边形面积计算公式，不进一步去说明验证，对于他们来说是抽象晦涩的。因此，在学习此课内容时教师应关注此问题。

解决策略：

新课程强调在经历、体验、感悟和实践中学习数学，在教学中体会数学的乐趣，就是指学生在教师的引导下，在教学活动中主动参与，亲身经历，获得对数学事实和经验的理性认识和情感体验。⑦教师在渗透斜而长的平行四边形向外做高这一理念时，并没有直接告诉学生，而是运用割补经验来推进。只是斜而长的平行四边形比较特殊，在割补过程中需要多加思考。教师先展示学生一的方法，也是很多学生会犯的错误，抛砖引玉推导出学生二的方法。这一步骤非常关键，既为斜而长的平行四边形向外做高做了铺垫，又推进了“等底等高的平行四边形面积是相同的”的延伸。教师巧妙的解决了这一难点，顺利让学生走出误区。

教学课例：

师：哪位同学知道平行四边形的面积计算公式？

教学课例：

生：S平=底×高、S平=邻边×邻边

师：他们说的对吗？请同学们用手中的四边形木架和平行四边形学具来帮忙。

生：我认为“S平=邻边×邻边”是不对的，因为把平行四边形沿边画到黑板上，再用相对应的四边形木架进行拉伸，拉伸成长方形后，画出的长方形明显和原来的平行四边形面积不一样。

师：他说的对吗？请同学们在小方格中数一数、比一比、拼一拼，来验证平行四边形的面积公式。

同学一

同学二

师：我发现许多同学，都将平行四边形剪拼成长方形，只是方式各不相同，所以长方形的宽就是平行四边形的高，长方形的底就是平行四边形的底。

课后分析：

平行四边形的面积教学设计应该充分的让学生感受到内隐的转化思想，积累出探寻几何图形面积的计算经验。猜想验证是小学课堂中必不可少的数学教学方法，新课标指出“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理。③在教学初期，教师将学生提供的平行四边形计算公式做为假设，再让学生去验证，开拓了学生思维，激发学生学习兴趣。小学生数学知识建构的主要过程一般是：生活原型→经验提炼→形成模型。④这要教师在教学过程中尽量以学生的生活经验为主。教师引导学生拉伸平行四边形，直观的展现出平行四边形的面积的变化和高有关系。学生通过操作，切实感受到平行四边形在拉伸过程中周长没有变化，从而，邻边也没有变化。让学生在生活中理解知识，用知识解决实际问题。

（二）误区2：拉伸后的长方形周长不变的前提下面积是否发生改变，割补后的长方形面积的不变的前提下周长是否变化

平行四边形面积的推导必须以长方形为依托，此方法的运用值得我们学习并作更深入的研究。⑤在教学过程中，教师在实现长方形和平行四边形的面积公式转化时，一种方法是通过拉伸平行四边形木架，学生会认为拉伸后的长方形面积变化，周长也会跟着变化。另一种方法是割补法，割补后的长方形的面积等于平行四边形的面积，学生就认为割补后两者周长也相等，他们却忽略了割补后的四边形形状变化，使周长也发生改变。如果学生对概念掌握不到位，很难自己发现并解决问题，教师在教学中需要指引学生走向探索、思考、求真的道路。

解决策略：

教学课例：

师：用一定、可能、不可能描述下列图形（如图2）。

图2

大部分学生认为平行四边形的面积可能或一定是5cm×7cm（在课程导入时，学生常常会陷入平行四边形的面积是邻边乘以邻边的误区）

师：我们把长方形拉伸成平行四边形后，看看发生了什么（如图3）？

图3

学：面积变小了，四边形框架拉的越长面积越小，直到最后成为一条线。

师：平行四边形拉伸成长方形，看看什么发生了变化？什么没有变化？

生：平行四边形的高变长了，面积变大了，平行四边形木架的四条边没变，所以转化后的周长没有变化。

师：既然平行四边形能通过转化成长方形来计算它的面积，那么平行四边形周长是否就等于长方形的周长呢？

一部分同学认为是，一部分同学认为不是，后来大家都陷入沉思，不知如何是好。

1)市内电源方面，相继建成了外高桥、宝钢、吴泾、化工区、漕泾、石洞口等一批超超临界煤机和闸北、石洞口、临港、崇明等一批燃机项目。基本形成了五大发电基地和若干个调峰与热电联产电厂相互配合的电源格局。

师：同学们请看（如图4，注：出自苏教版P7），拼接后的长方形，什么没变？什么变了？

一方面，多数教师仍然难以舍弃以教师为中心的教学观念，大多采用传统的灌输式教学，偏重理论知识的传授，忽视实践操作的引导，教学与应用、理论与实践脱节，导致学生兴趣不够浓厚，思维不够活跃，影响了学生的创新思维和创新精神的培养；另一方面，工匠精神主要通过师徒传承的方式发扬光大，但是高校教师和学生接触时间少，很少有机会就专业知识学习、专业技能训练等问题开展充分的交流，而学生受传统守旧思想的束缚，放不开手脚，存在思维定势，影响了知识的学习、能力的提高和素质的培养。

图4

师：同学三是换了个角度解决问题的，我们来研究一下同学二，看看斜而长的平行四边形和转化后的长方形有什么共同之处？

师：形状发生改变了，请同学们用尺子量一量，看看周长变了吗？

生：长方形的周长变短了，因为平行四边形的邻边比长方形的宽更长。

师：所以说，转化后的长方形，面积不变，形状变了，周长变长了。

在课堂观察中我发现，相当多的同学拿到练习之后，问题都还没看，就匆忙聚焦文本。不带着问题，走远了反倒不知道缘何出发，初心怎记？

课后分析：

学生学习数学必须有问题，教师不能只管给学生提问题，还应该帮助学生产生更多的问题，解决更多的问题，使学生的思想更活跃、更丰富。⑥教师用循序渐进的方式引导学生，让学生自己发现问题得出答案。教师将两种变化设置在一起进行比较，让学生明白两个问题之间的差异，加深学生对“转化”的理解。第一个问题中，平行四边形木架无论怎么拉伸都无法改变其边长，用边长不变衬托高的变化。小学数学学具平行四边形木架能够将这一抽象的数学知识形象化、具体的呈现。第二个问题中，割补后的长方形的形状变化学生是比较容易观察到的，教师让学生量周长，学生切实感受到割补后的长方形周长发生变化。简单、直接、精炼的解决了学生的疑惑。

（三）误区3：是否所有的平行四边形都可以转化成长方形

“斜而长的平行四边形”能否转化成长方形？此问题是本课的难点，很容易让学生陷入误区，许多学生认为斜而长的平行四边形和较为常见的平行四边形做高方法一样（学生不清楚外高如何去做）。

解决策略：

教学课例：

师：同学们，此平行四边形是否能拼成长方形？（如图5）请同学们拼一拼，并讲出自己的想法。

图5

学：都相等。

受到同学一的启发，同学二在此基础上进行修改，将平行四边形沿两腰的中间做两条垂线，竖着剪开，将剪下的两个小三角形分别上下拼接，完成了平行四边形向长方形的转化。

同学三将斜而长的平行四边形斜着看，把平行四边形的腰当成底，按已学过的割补的方法实现转换。

同学一

同学二

同学三

生：面积没变，形状变了。

2.不同：三个不同版本的教材，只有苏教版把多边形面积设置在较前章节。平行四边形面积课程设置，只有北师大版将其安插在梯形和三角形面积之间，其余两个版本都将梯形和三角形面积分别安排在平行四边形面积的后面。其中北师大版在多边形面积这一章以比较三角形、平行四边形、长方形等多边形作导入课程。《课标》中提到教材可以在不违背数学知识逻辑关系的基础上，根据学生自身，合理安排内容。北师大版虽在课程设置顺序存在差异，却在章节初多设置了不同多边形的关系导入课程，且三角形、平行四边形、梯形三个图形课程融会贯通。三个版本内容设置方面，没有明确提及学生学习过程中容易存在的误区，却将许多问题内隐在教材中，无论教师设计哪个版本的教案，都应充分剖析误区所在，强化基础知识。

师：这样，斜而长的平行四边形的高就跟容易找到了，我们可以以底边向平行四边形的外侧做高。

通过本文探究,认识到从现阶段我国预防医学专业课程教学水平来看,仍存在着较多问题亟待解决,例如:重视程度不足、教学理念落后及教学方法单一等,直接影响教学效果及教学进度。因此,相关教师秉持以人为本的教学原则,灵活运用案例教学法弥补传统教学模式不足,重视学生教学主体地位充分发挥学生主观能动性,提倡学生利用多媒体教学手段自行预习复习及解决相关问题,激发学生求知欲及学习热情,增强学生实践动手能力、创新能力及合作能力,为培养出更多的复合型医务人才奠定夯实基础。

课后分析：

疫区和非疫区生猪价格呈两极分化。据猪易网价格数据，河南生猪价格在疫情发生后9月份中旬最低跌至11元/千克，调研期间猪价为11～12 元/千克，而成本价值 12.5～13元/千克，养殖户已经开始亏损。重庆猪价则呈现持续上涨态势，调研期间猪价已经达到18～20元/千克。

（四）误区4：平行四边形面积公式的计算是否是底乘以对应的高

想要加深学生对平行四边形面积的理解，就要强调底边和高相对应问题。一旦遇到平行四边形有无数条高的情况，基础知识不扎实的学生往往会搞不清平行四边形的面积究竟怎样计算，陷入底和高不相对应这一误区。关键点是引导学生找到底边所对应的高。设置此内容是让学生学会举一反三，为以后几何的学习打下坚实的基础。

解决策略：

同时值得注意的是,在图9中,对应耦合间距d=170 nm的透射谱线中,出现了共振劈裂的现象,这是由于工艺缺陷等因素,微环侧壁出现了类似布拉格光栅的褶皱,使得微环腔中出现互耦合现象,微环腔理论上的最佳互耦合品质因数Qum与实际的互耦合品质因数Qu存在较大差异造成的[23],并不影响本文的研究结论。

师：把下列平行四边形（如图6）转化成长方形并计算其面积（单位：cm）。

图6

师：很多同学都已经算出第一个平行四边形的面积，第二个平行四边形有两条高，其中一条底边为5cm，对应的高为2.4cm，谁还能找到另一条高所对应的底边是多少？怎么找到的?

学：另一条高为4cm，对应的底边应该是3cm，因为直角底边为3cm所对应的高是4cm。

师：非常好，请同学们比较第二个平行四边形面积两条高所对应的底边面积是否相等？

(5) 用青绿色黏土揉搓出直径约2mm的小圆粒100个左右。将5cm长的铁丝一端串上大约5个小圆粒，铁丝余下部分包上白色黏土，这样3根为一小束，2小束为1大束固定在另一泡沫板的直立菌丝顶端，作为青霉扫帚状的分生孢子。余下的青绿色小圆粒用1cm的铁丝不均匀固定在泡沫板上作为散落在地上的孢子(图2)。

由于前期经验影响，学生一在给平行四边形做高时依然按照较为常见的平行四边形做高的方法，在拼接的时候才发现出现了问题，通过这种方式根本无法拼接成长方形。

师：看来平行四边形的面积计算只要找到底边所对应的高，它的面积就很容易计算出来了。请同学们自主完成第三个平行四边形的面积计算。

课后分析：

教师设置此内容时，以学生已有的经验作为引导，设置一个仅有一条高的平行四边形，为后题的对比提供条件。第二个平行四边形设置十分巧妙，由两个直角三角形组成的（初步引出三角形和平行四边形的关系），受到思维定式的影响，学生很难准确的找到另一个底边所对应的高，老师需要引导学生找到组成直角的底边所对应的高。老师将三个平行四边形设置在一起，为了让学生进行对比。如果底和高不相对应，两种算法计算出同一个平行四边形面积是不相等的，强调了底边所对应的高的重要性。

（五）误区5：等底等高的平行四边形面积是否相等和面积相等的平行四边形是否只有一种形状

认知发展理论中的具体运算阶段提到守恒性，几何重量守恒和长度守恒在9-10岁左右，守恒是指个体能认识到物体固有的属性不随其外在形态的变化而发生改变的特征。如果学生对平行四边形的面积计算的概念迷糊，往往会觉得图形样子变了，面积就会发生改变。老师应该将此内容设置在平行四边形的面积教学中，促进了学生守恒性的发展。

解决策略：

教学课例：

师：请同学们猜想等底等高的平行四边形面积是否相同（注：根据北师大版P54试一试第二题改编）？

有的学生认为相同，有的认为不相同，还有一部分同学不能确定。

师：请同学们算出下列等底等高平行四边形的面积，并填入表格中，比一比（如图7）。

图7

师：通过对比后的三个不同类型平行四边形，得出的面积完全相同，因为他们等底等高。

师：请同学们设计一个S平=12cm2的平行四边形。

2.孵化器内设职能部门比较齐全，绝大部分设置了“项目招商部”。调查显示，项目招商部是所有孵化器企业中不可或缺的一个职能部门，有96%的孵化器企业都拥有综合服务部的职能部门，80%的孵化器企业有物业管理部，而孵化器企业中设立了产业服务部和信息部的分别占68%和20%，另有48%的孵化器企业还根据自己的情况设立了其他职能部门。通过比较还可以看出，自我评价为“勉强维持”的孵化器，内设的管理部门往往比较简单，没有设立产业服务部和信息服务部。

图8

师：请同学们比较，我抽取的这些同学画的面积都为12cm2的平行四边形，他们的底和高都一样吗（如图 8）？

学：都不一样

师：所以说，面积相等的平行四边形不一定等底等高。

据此，分析双层底船装载2层标箱工况下的船舶富余净空高度见表8。需要说明，桥梁净空高度一般指高水位状态，汛期作为高水位的极端状态，虽然发生概率较小，但仍能够保证2层集装箱装载工况下的1.3 m富余尺度，同理空载2层高箱的最小富余尺度0.7 m。因此，2层箱能够满足各种装载工况下的通航条件。

课后分析：

老师将两个看似相似的问题设置在一起，通过对比来说明两者间的不同。第一个问题老师先让学生猜想，通过图片展示，列表比较来推理出等底等高的平行四边形面积是相同的。解决第二个问题时，老师先抛出问题让学生自己画图，对比说明问题。本块内容的设计是为了让学生升华所学知识，充分发挥学生的空间想象力，直观的展现问题，符合此阶段的学生思维发展。

结论

学生的数学认知结构和教师教学内容的数学知识结构是有区别的。教师不仅要制定以知识本位为主导的教案，也要关注学生学习容易产生的误区，加强精确的数学认知结构构建。总之，教师需要多加观摩名师课堂，通过职业培训和学科专题讲座，自主学习来提升自身学科专业知识；同时要紧跟课标，聚焦关注学科热点问题，多看文献和相关著作，避免知识陈旧老化；教师还需结合学生发展心理，避免思维固化和填鸭式教学；在教学中要综合考虑课堂中潜在的问题，加强数学知识点间的联系，同伴间的交流与互助，设计出促进学生思维发展的教案。这样，才能使所学的概念得以强化与巩固，为学生以后学习几何打下坚实的基础。

注 释：

①黄芝琼.小学数学“平行四边形面积”教材教法研究[J].小作家选刊，2016,(19)：66.

②教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京:北京师范大学出版社,2011.

③夏永军.平行四边形面积教学方法分析与研究——以苏教版为例[J].读写算，2015,(23)：285.

④陈 赛，霜倪青，童建芬.问题情境创设有效性的课堂实践研究——以《平行四边形的面积》一课为例[J].上海教育科研，2012,(2)：76.

⑤黄金荣.小学数学“平行四边形面积”教材教法研究[D].杭州：杭州师范大学硕士学位论文，2012：53.

⑥潘小明.数学思维的发展不是空洞的——“平行四边形面积”教学实践及思考[J].人民教育，2012,（12）：36.

⑦原南南，高枝国.“平行四边形的面积”教学实录与评析[J].小学数学研究，2014,（1-2）：92.

参考文献

[1] 刘京莉.新理念小学数学教学论[M].北京：北京大学出版社，2015：64-65.

[2] 吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].教育科学出版社，2014：79.

[3] 秦 文，李海英.让学生真正经历数学学习的过程---《平行四边形面积的计算》一课两上的实践与分析[J].教学与管理，2012(23)：51.

[4]田志明.《平行四边形的面积》教学设计[J].教学与管理，2013(23)：61.

[5] 曹德强.平行四边形面积的计算教学设计[J].课程教育研究，2014(31)：252.

[6]曹振亚.小学数学教师PCK研究——基于新手教师与专家教师的比较[D].上海：上海师范大学硕士学位论文，2014：62.