在定积分不等式的证明中，因为其相关命题的题目形式复杂多样，方法和技巧性较强，对于民族高校数学基础一般的民族学生而言，的确是有相当难度的，这就需要初学者在学习过程中不断地进行探索和总结。本文首先以一道考研题为例，从不同角度通过六种不同的证明方法给出了解答；其次又通过七个实例，用七种证明方法继续阐明了定积分不等式证明中所遇到的其他一些方法和技巧。

1 利用定积分的定义

例 1：设 f（x）在[0，1]上连续且单调增加，证明：

解：因函数 xf（x）与 f（x）在[0，1]上都可积，故可将其等额分割为根据 f（x）的单调性，对于充分大的 n，有无论n是奇数还是偶数，总有，令n→∞，利用定积分的定义，命题得证。

2 利用变量代换法

对例1作变量代换t=x2，得根据f（x）的单调性及x的范围，易得，所以，从而得证。

3 利用变限积分构造辅助函数

被积函数连续的前提下，但不清楚其是否可导时，使用该方法较为简便，其中借用辅助函数的单调性来进行证明。这时只要将待证明不等式中的积分上（下）限换成变量 ，并移项让式子一边为0，则式子另外一边就是我们所期待构建的辅助函数。对例1，构造积分上限函数dt，则 F（0）=0。 当 x∈[0,1]时根据已知条件得，F'（x）≥0，所以函数 F（x）在[0,1]上单调增，故 F（1）≥F（0），从而命题得证。

4 利用二重积分转化法

证：由 f''（x）＞0 知 f'（x）是单调增函数，从而 f（x）在[a，b]上是凹的，又在[a，b]上，有 g（x）＞f（x），故对上式两边同时积分可得：

5 利用微分中值定理

对例 1，变上限函数由题意，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，则由微分中值定理有，存在 ξ∈（0，1），使从而推得命题得证。

6 利用积分中值定理

依然对例1，构造变量积分函数根据积分中值定理，存在 ξ∈（0，x），使得0。 由此可知，F（x）单调递增，故 F（x）≥0，命题得证。

马兰把衣服放在搓衣板上反复地揉搓着，不大会儿洗衣盆里就堆起了五颜六色的泡沫。再过一阵，她的两只手以及小半截手臂也淹没在泡沫里了。好几次我都想提醒她，你不要再搓了小兰，再搓下去会把衣服搓坏的。可我忍住没敢开口。当我给马兰转述那天事情的经过时，她就这样一直低着头搓洗衣服，我说完半天了，她还没有停手的意思。那件衣服被马兰搓得扑哧扑哧响，人一样急促地喘息。

证：把 f（x）在点处用带有拉氏余项的一阶泰勒展开，因 f''（x）≥0，从而对上式两边积分得从而推得命题得证。

7 利用定积分的性质

普通人可能不了解人工智能和生物技术的任何细节，但他们能感觉到未来的趋势。在1938年，苏联、德国或美国的普通男人的处境可能比较严峻，但他们经常被告知自己是世界上最重要的事物，他们是未来。当他们看宣传海报时（这些海报通常描绘了煤矿工人和钢铁工人的英雄姿态），会发现自己就在其中：“我就在那张海报里！我是未来的英雄！”

 

例 5：设 f（x）在[a，b]上二阶可导，且 f''（x）＞0，证明：

8 利用分部积分公式法

证：因 f'（x）＞0，故 f（x）是单调增函数，从而 f（2π）-f（0）≥0，故

例3：已知函数f（x）在 [0，2π]上非负连续可导，证明对自然数n有

9 利用泰勒公式

当证明的不等式中所含函数高阶可导，且已告知最高阶导数符号时，可考虑将其泰勒展开证明。

例 4：f（x）在[a，b]上二阶可导，且，证明：

例 2：设函数 f（x），g（x）在区间[a，b]上连续，且 f（x）单调增加，0≤g（x）≤1，证明：

高血压自我管理小组的建立和发展，作为提高群众保健意识及全民身体素质的一项治本工程，已列入政府卫生工作的重要内容。随着其内涵和内容的不断延伸，如何建立健全“医患合作、患者自助、自我管理”群防群控慢性病的社区居民健康自我管理模式已成关注重点。由于自我管理小组投入小、效果突出，因此，随着自我管理队伍的逐步扩大及覆盖面的不断延伸，将使包括高血压在内的所有慢性病防控工作实现真正意义上的落地，对辖区实现公共卫生服务均等化起到一定的推动作用。

我国的国土空间规划工作正处于探索阶段，在具体的执行过程中还存在着一定的问题。这就要求相关的政府部门积极借鉴国外好的经验，在“多规合一”的基础上对我国的空间规划体系进行优化与完善，从而促进我国的相关规划任务得以顺利推行，促进国土空间规划体系得到持续的发展。

10 利用凹凸性

当题目中已知 f''（x）＞0 或 f''（x）＜0 时，可考虑用凹凸性证明。

写这点时，伟翔有异议，他说：“我哪敢啊？养活老婆孩子可是我应尽的义务。”我满意地亲了他一下，说：“这种心态就对了。还有，不能动不动就提离婚，不能有当陈世美的心思，想也不行！”

证：因 g（x）在闭区间[0，1]上连续，且 0≤g（x）≤1，由积分的性质有从而命题得证。

对例 1，当 x，y∈[0，1]时，根据 f（x）的单调性有其中利用轮换对称性化为二重积分得从而推得命题得证。

基于断口两侧电压相量差的发电机机端断路器非全相保护//陈俊,李华忠,徐青山,桂林,王光,钟守平//(21):125

11 利用放缩法

例 6：证明

证：因从而，从而得证。

12 利用柯西-施瓦茨不等式

例 7：设 f（x），g（x）在[a，b]上连续，证明

证：故证毕。

13 利用二次三项式的判别式

例 8：设 f（x），g（x）在[a，b]上连续，证明

证：令 F（x）=f（x）+λg（x）,则两边平方后积分dx≥0。易知上式右边是λ的非负实二次三项式，其判别式为由此可推得命题成立。

在实际运用过程中，子任务求得解后需与其他处理器交换数据，但这种屡屡的数据交换可能是无用的或低效的。因此，需改进和设置固定交换周期，达到减少无用交换频率的目的。处理器通信采用主从式消息传递机制，主伺候器将汇总从伺候器在固定周期内达到的局部解，实施杂交算法来运算并反馈结果。在改进算法实施时，对求得最优解的收敛速度起关键作用的是杂交算子，杂交算子的作用在于预防局部收敛，提升求得全局最优解的概率。使用主从式通信机制时，当蚂蚁迭代次数等于所建立的固定交互周期值，主节点得到其它次节点在交互周期传递的最优解，并使用杂交算子机制来分析与处理。

参考文献

[1]华东师范大学.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]庄科俊.一个定积分不等式的八种证明方法[J].铜仁学院学报，2015（4）：188-189.