当我们在空间中建立了空间直角坐标系之后,空间中的点就与一个三元有序数组对应起来,空间中的图形就与方程对应起来,从而可以用代数方法研究几何问题,这在一些教材[1-4]及文献[5-7]中都有很好的体现。特别地,空间中的任一平面都可以用三元一次方程来表示,从而空间中平面之间的位置关系就可以用代数的方法予以刻画。在文献[3]中,作者用代数的方法给出了空间中两个平面的位置关系的完全刻画,在文献[5]中，作者用代数的方法给出了空间中三个平面的位置关系的完全刻画。本文将在此基础上利用线性方程组的解的理论,从矩阵的秩的角度刻画空间中四个平面的位置关系。这对提高学生的数学素养, 培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力,具有重要作用。

1 一些引理

引理1[3] 设两个平面的方程分别为

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0,

记则

(1)平面π1与平面π2相交于一条直线⟺R(A)=R(B)=2;

(2)平面π1与平面π2平行⟺R(A)=1,R(B)=2;

(3)平面π1与平面π2重合⟺R(A)=R(B)=1。

美国前总统克林顿称得上“宰相肚里能撑船”。1997年，在西班牙马德里召开的北约会议休息期间，加拿大前总理克雷蒂安批评美国政府，还吹嘘加拿大根本不怕美国，甚至开玩笑说：不等克林顿来开会了。但得知此事后，克林顿不以为然，反而称赞克雷蒂安是位“伟大领导人”。

引理2[5] 设三个平面的方程分别为

国家或地区的创新产出根植于微观组织，微观组织以企业和相关科研院所为主。经济政策不确定性主要影响企业对创新行为的选择，进而决定国家或地区的创新总产出。已有研究表明，政策不确定性对企业创新行为的影响具有两种截然相反的效果：政策不确定性的提高导致研发投资减少［7，8］； 或导致研发投资的增加［6］。 本文将这两种效果称为创新抑制与创新促进假说。

1.4 统计分析 采用SPSS16.0进行统计分析。用Kaplan-Meier法描述患者生存状况。采用t检验对两组数据进行分析，以P<0.05为差异有统计学意义。

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0,

π3:A3x+B3y+C3z+D3=0,

记则

下面我们分别讨论这6种情况下四个平面的位置关系:

②若四个平面互异,要满足上述条件, 则四个平面的位置关系有以下7种情况:

(3)三个平面相交于一条直线或三个平面中两个平面相交,第三个平面与其中一个平面重合⟺R(A)=R(B)=2;

(4)三个平面两两相交(有3条交线)或三个平面中两个平面相交,第三个平面与其中一个平面平行⟺R(A)=2,R(B)=3;

(5)三个平面相交于一点⟺R(A)=R(B)=3。

引理3[3] 线性方程组

 

有解的充要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,即R(A)=R(B).

引理4[3] 设线性方程组

 

①

有解,即其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r,那么

(1)当r=n时,方程组①有唯一解;

(2)当r<n时,方程组①有无穷多解。

引理5[8] 线性方程组的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩的关系是R(B)=R(A)或R(B)=R(A)+1。

2 空间中四个平面的位置关系的代数刻画

在本节,我们将利用线性方程组的解的理论,从矩阵的秩的角度研究空间中四个平面之间的位置关系,并给出完全刻画。

ZC30真空热处理炉电气控制线路比较复杂，自动化程度较高，通过该机床的改造，探讨如何用可编程控制器内部的步进指令实现外部控制功能，及基本指令的使用方面。

设平面方程为

In the hall there was a little bronze Buddha in a wooden shrine,and beside it a qing(a sonorous stone)which gave out a somber twang if one snapped one’s fingers in front of it.

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0,

π3:A3x+B3y+C3z+D3=0,

π4:A4x+B4y+C4z+D4=0,

记则A为4×3矩阵,B为4×4矩阵. 以下考虑线性方程组

8.4 化学防治 采取全园机械棚下喷药。早春梨树发芽前，喷3～5波美度石硫合剂。落花后喷第1次化学农药，果实套袋前5～7天喷第2次，以后每隔15～20天喷1次。杀菌剂以腈菌唑、甲基托布津、戊唑醇为基础药剂交替使用，另选1～2种配伍杀菌剂为辅助药剂与基础药剂混合使用；杀虫剂以高氯马、阿维菌素、苦参碱为主，6月底之前每次用2种杀虫剂与杀菌剂混合同期喷施，6月底后混用1种杀虫剂同期喷施。配制农药时要根据剂型和浓度，使配制后的每种药的用量和浓度都符合单独使用的要求，以确保用药效果和生产安全。

 

②

的解的情况。

由引理5可得, R(A)与R(B)的关系有以下6种情况：(1)R(A)=R(B)=1；(2)R(A)=1,R(B)=2；(3)R(A)=R(B)=2；(4)R(A)=2,R(B)=3；(5)R(A)=R(B)=3；(6)R(A)=3,R(B)=4。

(1)三个平面重合⟺R(A)=R(B)=1;

四川竹编以精细见长，色彩清雅，大多为实用工艺品，其中成都的瓷胎竹编、自贡的竹编龚扇、梁平(重庆)的竹丝画帘、渠县的竹编字画都是竹编工艺中一颗颗璀璨的明珠。

(ⅴ)四个平面中平面π1、π2、π3两两相交, 交线为l1,l2,l3,平面π4与平面π1平行, l1,l2,l3位于平面π4的同侧, 此时四个平面形成5条交线(见图1(q));

(2)当R(A)=1,R(B)=2时,由于R(A)≠R(B),由引理3得,方程组②无解。由R(A)=1得,四个平面中任意两个平面不相交;而由R(B)=2得,四个平面中至少有两平面互异(注:两个平面互异是指两个平面不完全一样,也就是说两个平面不重合)。下面我们按互异的平面个数来讨论四个平面的位置关系。

①若四个平面中有两个平面互异,要满足上述条件,则四个平面的位置关系只有以下2种:

只是一些简单的色素附着或者是一些牙石、色素导致的，可以进行洗牙这样的治疗，去除这些黑色的东西，或者是一些其他的色素。还有，建议患者可以多吃一些含粗纤维的食物。

③若四个平面互异时,要满足上述条件,则四个平面两两平行(见图1(e))。

(ⅱ)四个平面中平面π1、π2平行,平面π3、π4分别与平面π1、π2重合(见图1(c));

②若四个平面中有三个平面互异,要满足上述条件,则四个平面的位置关系为平面π1、π2、π3平行,平面π4与平面π1重合(见图1(d));

土壤重金属Cd、Pb、Cu、Zn和Ni全量采用HNO3-HClO4-HF三酸法消解，原子吸收分光光度法测定。重金属形态分析采用Tessier连续提取法[8]提取土壤样品中Cd、Pb、Cu、Zn和Ni 5种重金属的5种赋存形态：可交换态、碳酸盐结合态、铁-锰氧化物结合态、有机物和硫化物结合态和残渣态。

(ⅰ)四个平面中平面π1、π2、π3重合,平面π4与平面π1、π2、π3平行(见图1(b));

(ⅰ)四个平面中平面π1、π2、π3重合且与平面π4相交(见图1(f));

①若四个平面中有两个平面互异,要满足上述条件, 则四个平面的位置关系只有以下2种:

(3)当R(A)=R(B)=2时,由引理4得,方程组②有无穷多个解,因而四个平面有无穷多个公共点。由R(A)=2,利用引理1得,四个平面中必有两个平面相交;而由R(B)=2得,四个平面中至少有两个平面互异。下面我们按互异的平面个数来讨论四个平面的位置关系。

(ⅱ)四个平面中平面π1、π2相交,平面π3、π4分别与平面π1、π2重合(见图1(g));

②若四个平面中有三个平面互异,要满足上述条件,利用引理2得,四个平面中平面π1、π2、π3相交于一条直线,平面π4与平面π1重合(见图1(h));

③若四个平面互异,要满足上述条件,则四个平面相交于一条直线(见图1(i))。

(4)当R(A)=2,R(B)=3时,由于R(A)≠R(B),由引理3得,方程组②无解.由R(A)=2,利用引理1和引理2得,四个平面中必有两个平面相交,且任意三个平面不相交于一点;而由R(B)=3得,四个平面中至少有三个平面互异。下面我们按互异的平面个数来讨论四个平面的位置关系。

①若四个平面中有三个平面互异,要满足上述条件,由引理2得,四个平面的位置关系只有以下3种情况:

(ⅰ)四个平面中平面π1、π2平行且与平面π3相交,平面π4与平面π1、π2的其中一个平面重合(见图1(j));

(ⅱ)四个平面中平面π1、π2平行且与平面π3相交,平面π4与平面π3重合(见图1(k));

随着九年义务教育及城乡一体化的推进，我们发现初中阶段的一个学校甚至是一个班级的学生由于来自不同的区域，学生的生源发生了结构性的变化。这样就造成了初中学生基础知识参差不齐，学习习惯及经验不相统一，使得课堂教学出现一部分学的兴高采烈，一部分鸦雀无声。尤其是来自农村的学生，由于小学的独立思考能力的缺陷，被动与落后的学习方式使这部分学生不敢或不能融入到正常的学习交流中来，从而导致对学习失去兴趣，产生厌学心理。因此，如何应对这些不利因素，通过有效的促进初中学生独立思考能力积累来提高学习兴趣，成为每个一线教师急需解决的课题。

(ⅲ)四个平面中平面π1、π2、π3两两相交于3条交线,平面π4与平面π1重合(见图1(l));

(2)三个平面平行或三个平面中两个平面平行,第三个平面与其中一个平面重合⟺R(A)=1,R(B)=2;

(ⅰ)四个平面中平面π1、π2平行且与平面π3相交,平面π4与平面π3平行,此时形成4条平行的交线(见图1(m));

(ⅱ)四个平面中平面π1、π2、π3平行,与平面π4相交于3条交线(见图1(n));

(ⅲ)四个平面中平面π1、π2、π3两两相交,交线为l1,l2,l3,平面π4与平面π1平行,平面π4经过平面π2、π3的交线.此时四个平面共形成3条交线(见图1(o));

(ⅳ)四个平面中平面π1、π2、π3两两相交,交线为l1,l2,l3,平面π4与平面π1平行, l1,l2,l3位于平面π4的两侧,此时四个平面共形成5条交线(见图1(p));

(1)当R(A)=R(B)=1时,由引理4得,方程组②有无穷多个解,从而四个平面有无穷多个公共点.由R(A)=1,利用引理1得,四个平面中任意两个平面不相交,又四个平面有无穷多个公共点,故四个平面只能重合，见图1(a)。

(ⅵ)四个平面中平面π1、π2、π3两两相交,交线为l1,l2,l3,平面π4与平面π1相交于直线l4,平面π4经过平面π2、π3的交线, 此时四个平面形成4条交线(见图1(r));

(ⅶ)四个平面中平面π1、π2、π3两两相交,交线为l1,l2,l3,平面π4与平面π1、π2、π3都相交,交线为l4,l5,l6,此时四个平面形成6条交线(见图1(s))。

(5)当R(A)=R(B)=3时,由引理4得,方程组②有唯一解,因而四个平面有唯一公共点。由R(A)=3得,四个平面中必有三个平面相交于一点;而由R(B)=3得,四个平面中至少有三个平面互异。按互异的平面个数来讨论四个平面的位置关系,有以下2种情况:

①当四个平面中有三平面互异时,则四个平面的位置关系为平面π1、π2、π3相交于一点,平面π4与平面π1重合(见图1(t));

5）以传承地方性文化为主的博物馆型。如塞外农耕文化体验园。塞外农耕文化体验园是一座全面展示农耕文化历史及实物的主题园区。

②当四个平面互异时, 四个平面的位置关系为四个平面相交于一点(见图1(u))。

(6)当R(A)=3,R(B)=4时,由于R(A)≠R(B),由引理3得,方程组②无解,因而四个平面无公共点.由R(A)=3得,四个平面中必有三个平面相交于一点,不妨设平面π1、π2、π3相交于一点P;由R(B)=4得,四个平面互异.由四个平面无公共点得, 点P不在平面π4上. 因此,当R(A)=3,R(B)=4时,四个平面中有三个平面相交于一点P,且点P不在第四个平面上(见图1(v))。

创业教育是学生创业的核心。Saadat et al.(2015)的研究提出并测试了一个综合的、多视角的框架，将创业自我效能和个人动机认定为创业意愿的基本要素，以当地805名大学生为样本，采用结构方程模型对数据进行分析，研究显示自我效能感对创业意愿有显著影响，结果表明从整体的角度来看，学生本人的意识在大学生创业中具有重要影响。Fayolle et al.(2015) 指出企业家精神可以教授和学习，强调了在开始某些实际行为之前，企业家教育所起的重要作用；在大学层面，创业教育希望能够激发学生的创业意识。

综上所述,我们从矩阵的秩的角度给出空间中四个平面的位置关系的代数刻画.

定理1 设平面方程为:

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0,

π3:A3x+B3y+C3z+D3=0,

π4:A4x+B4y+C4z+D4=0,

记则

(1)四个平面重合⟺R(A)=R(B)=1.

(2)四个平面两两平行；或四个平面中有三个平面两两平行，第四个平面与其中一个平面重合；或四个平面中有两个平面平行，其余两个平面均与其中一个平面重合；或四个平面中有两个平面平行，其余两个平面分别与这两个平面重合⟺R(A)=1,R(B)=2。

白丽筠握着小银匙，像握着一把匕首，说，那个季经理垂涎于我已经很久了。他是李老板介绍我认识的，可是我一直没有答应他的非分要求，顶多只让他在酒桌下面踩一下脚尖，摸一下大腿什么的。

(3)四个平面相交于一条直线; 或四个平面中有三个平面相交于一条直线, 第四个平面与其中一个平面重合; 或四个平面中有两个平面相交，其余两个平面均与其中一个平面重合；或四个平面中有两个平面相交，其余两个平面分别与这两个平面重合⟺R(A)=R(B)=2。

(4)四个平面相交于一点; 或四个平面中有三个平面相交于一点,第四个平面与其中一个平面重合⟺R(A)=R(B)=3。

(5)四个平面中有三个平面相交于一点, 但此点不在第四个平面上⟺R(A)=3,R(B)=4。

(6)四个平面的位置关系不属于上述情况, 即为图1(j)至图1(s)描述的10种情形之一⟺R(A)=2,R(B)=3。

 

 

 

 

 

  

图1 四个平面的位置关系

3 结束语

本文利用线性方程组的解的理论,从矩阵的秩的角度对空间中图形的位置关系进行了研究。定理1利用代数方法完全刻画了几何空间中四个平面之间的位置关系。从几何的角度看,空间中四个平面的位置关系有22种,但是从代数的角度予以分类,则空间中四个平面的位置关系只有6类。 从这里也可以看出,看似不相关的空间图形间的位置关系却隐藏着一些共性,如它们的代数方程组成的方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不变。本文的探讨将激发学生从不同的角度探究数学问题,认清事物的本质。这对提升学生分析问题,解决问题的能力至关重要。

参考文献

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